1. funktsional qatorlar

Funktsional qatorlar
Reja:


1. Funktsional qatorlar.
2. Darajali qatorlar. Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va oralig`i.
3. Abel teoremasi.
4. Darajali qatorni hadlab differenstiyalash va integrallash


1. FUNKTSIONAL QATORLAR
Qatorning hadlari x o`zgaruvchining funktsiyalari bo`lib, bu funktsiyalar ketma – ketligi U₁ (x), U ₂ (x), …, U _p (x),… ko`rinishda berilgan bo`lsin.
1–ta`rif: Quyidagi ko`rinishli
(1)
ifodaga funktsional qator deyiladi.
Agar (1)–qatordagi x lar o`rniga x<sub>0</sub> sonlar qo`yilsa, quyidagi sonli qator hosil bo`ladi:
(2)
2–ta`rif: Agar (2)–sonli qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (1)–funktsional qator-ga x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi qator deyiladi. Bunda x<sub>0</sub> nuqta (1) qatorning yaqinlashish nuqtasi deb ataladi.
1-misol.
qatorning nuqtada yaqinlashishini va x =2 nuqtada uzoqlashuvchi ekanligini tekshiring.
Yechilishi: ni berilgan qatordagi x larning o`rniga qo`yib, quyidagi sonli qatorni hosil qilamiz:

Bu qator yaqinlashuvchi ekanligi bizga ma`lum. Endi x larning o`rniga x=2 ni qo`yib, quyidagi uzoqlashuvchi qatorga ega bo`lamiz:

Demak, berilgan qator ham ta`rifga asosan nuqtada yaqinlashuvchi va x=2 nuqtada uzoqlashuvchi ekan.
3-ta`rif: Berilgan (1) qatorning yaqinlashish nuqtalari to`plamiga qator-ning yaqinlashish sohasi deyiladi.
(1)- funktsional qator uchun xususiy yig`indilar ketma–ketligini tzish mumkin:
S₁(x), S₂(x), S₃(x),…, S_n(x),…
Bunda S_n(x)=U₁(x)+ U ₂(x)+…+ U _n(x) dir.
(1) funktsional qator yaqinlashish sohasining har bir x nuqtasida qatorning f(x) yig`indisi n→ ∞ da xususiy yig`indisi ketma – ketlikning limitiga teng bo`ladi:
(3)
4 –ta`rif: (4)
qatorning (5)
qismiga (1) qatorning n – qoldig`i deyiladi.
Agar qoldiq had yig`indilarini R_n (x) bilan belgilasak, ya`ni
(6)
u holda, (7)
o`rinli bo`lib, n→ ∞ da R<sub>n</sub>(x)→0 bo`ladi. (1) ning yaqinlashish sohasi (6) ning ham yaqinlashish sohasi bo`ladi.
(7) tenglikdan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(8)
Bunda absolyut xatodan iborat bo`lib, o`rinli bo`ladi.