1. Funksiyaning nuqtadagi limiti

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti.
6-ta’rif. Agar funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan son uchun shunday
mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatl-antiradigan barcha х lar uchun
Tengsizlik bajarilsa, А son
Funksiyaning dagi limiti deb ataladi.
Аgar А son funksiyaning dagi limiti bo’lsa, bu quydagicha yoziladi:
Bu ta’rif geometik nuqtai nazardan quydagini anglatadi: agar istalgan son uchun shunday mavjud bo’lsaki, uchun funksiyaning qiymatlari интер- valga tushadi (2-shakl).
Мisol. Ekani isbotlang.
funksiyani qaraylik.
Ixtiyori ni olamiz va ni ў o’zgartiramiz:
2-chizma.
Аgar ni olsak, u holda barcha lari
Uchun ushbu tengsizlik bajariladi:
Bundan 1 son funksiyaning
Dagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.
3. Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi.
7-ta’rif.Agar Intervalda aniqlangan
Funksiya uchun shunday son mavjud bo’lsaki, barcha lar uchun
Tengsizlik bajarilsa, u holda
Funksiya intervalda chegaralangan deb ataladi.
agar bunday М son mavjud bo’lmasa, u holda funksiya bu intervalda chegaralanmagan deb ataladi.
4-misol. funktsia intervalda chegaralangan, chunki bu inervaldagi barcha x lar uchun ya’ni M=1.
5-misol. funktsia x (0,1) intervalda chegaralangan, чунки bo’ladigan M >0 son mavjud emas.
Funktsianing limiti bilan unung chegaralanganligi o’rtasidagi bog’lanishni belgilaydigan ushbu teorema o’rinli.
1-teorema. Agar
A-chekli son bo’lsa, u holda funksiya
a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.
4. Bir tomonlama limit.
8-ta’rif. Agar funksiyaning a nuqtadagi yoki dagi limiti ta’rifidaX o‘zgaruvchi a dan kichik(ya’ni ) bo’lga- niсha qolsa, u holda funksiya limiti funksiyaning nuqtadagi (yoki
dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi.
Demak, har bir son uchun shunday
Mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun
Tengsizlik bajarilsa, son funktsia- ning dagi (yoki dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi.
funktsianing nuqtadagi chao tomonlama limiti belgilanadi:
yoki .
Agar bo’lsa, u holda bunday yoziladi:
, yoki
,
9-ta’rif. Agar funktsianing
nuqtadagi yoki x→a dagi limitidagi tarifida
x o’zgaruvchi a dan katta (ya’ni ) bo’lguncha qolsa, u holda funksiyaning limiti
Nuqtadagi (yoki dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi.
,ёки ,
ёки
funksiyaning nuqtadagi o’ng tomonlama limiti bunday belgilanadi:
funksiyaning nuqtadagi chap va o’ng tomonlama ўнг томонлама limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. Bunga teskari da’vo
ham o’rinli. Demak, funksiyaning
Nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular o’zaro teng, ya’ni
bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.