1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

4. Koshi teoremasi. Agar va funksiyalar segmentda uzluksiz va uning barcha ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo`lsa, shu bilan birga bo`lsa bu segmentning ichida shunday nuqta topiladiki, bunda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi:

(64)

Isboti. Quyidagi yordamchi funksiyani qaraylik:

Ravshanki, bu funksiya intervalning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi va uning oхirlarida nolga aylanadi:

Demak, Roll` teoremasiga ko`ra shunday nuqta topiladiki, bo`ladi. Shunday qilib,

Bundan

(64) tenglik Koshi formulasi deyiladi.

1 – izoh. Teorema shartidan ekani kelib chiqadi, chunki aks holda Roll` teoremasiga ko`ra shunday nuqtada topiladiki, uning uchun shartga zid.

2 – izoh. Agar deyilsa, Lagranj teoremasi Koshi teoremasining хususiy holi bo`lar edi.

5. Lopital qoidasi. V bobda biz ikkita cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning nisbatlarining limitlarini hisoblashni, ya`ni va ko`rinishdagi aniqmasliklarni ochish (hal qilish) bilan tanishdik. Quyidagi aniqmasliklarni hal qilish uchun qo`llaniladigan Lopital qoidasi deb ataladigan yangi qoida qaraladi.