1. Determinant

Berilgan sistemaning yechimini (4.2.4) ko‘rinishda yozamiz:

• Berilgan sistemaning yechimini (4.2.4) ko‘rinishda yozamiz:
• Bu yerdan, matritsalarning tenglik shartiga asosan, x1=4, x2=3, x3=5 kelib chiqadi.

4.1.1.Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimining mavjudligi haqidagi Kroneker-Kopelli teoremasi

• Faraz qilaylik, n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalarning (4.2.1) sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistema koeffitsiyentlari, noma’lumlari va ozod hadlari bo‘lgan o‘ng tomonidan tuzilgan (4.2.2) matritsalardan tashqari sistema matritsasiga yana bitta (n+1) – ustun qilib sistema o‘ng tomonini yozish bilan kengaytirib, B matritsani hosil qilinadi va uni sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb ataladi.

Demak, sistemaning kengaytirilgan matritsasi

• Demak, sistemaning kengaytirilgan matritsasi
• ko‘rinishda bo‘ladi.
• Bu o‘rinda quyidagi tushunchalarni eslatamiz: agar (4.2.1) sistema yechimga ega bo‘lsa, u birgalikda, aks holda birgalikda emas deb yuritiladi.

Agar sistema o‘ng tomonidagi barcha ozod hadlar nolga teng, ya’ni C=0 (nol matritsa) bo‘lsa, (4.2.1) sistema bir jinsli deb yuritiladi. Bunday bir jinsli sistema har doim birgalikdadir, ya’ni X=0 uning yechimi bo‘lishi ravshandir.

• Agar sistema o‘ng tomonidagi barcha ozod hadlar nolga teng, ya’ni C=0 (nol matritsa) bo‘lsa, (4.2.1) sistema bir jinsli deb yuritiladi. Bunday bir jinsli sistema har doim birgalikdadir, ya’ni X=0 uning yechimi bo‘lishi ravshandir.
• 4.2.1-teorema(Kroneker-Kopelli). Chiziqli algebraik tenglamalarning (4.2.1) sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning matritsasi A ning rangi kengaytirilgan matritsasi B ning rangiga teng bo‘lishi (r(A)=r(B)) zarur va yetarlidir.

Isbot. Sistema bir jinsli bo‘lgan hol uchun isbot ravshandir,

• Isbot. Sistema bir jinsli bo‘lgan hol uchun isbot ravshandir,
• chunki, bu holda A va B lar ekvivalent bo‘lib r(A)=r(B) aniqdir. Endi, sistema bir jinsli bo‘lmagan, ya’ni uning o‘ng tomonidagi ozod hadlardan aqalli bittasi noldan farqli bo‘lgan holni qaraymiz.