1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matrisa usuli

7-amaliy mashg’ulot.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matrisa usuli. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss va Gauss-Jordan usullari.


1.Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matrisa usuli.
Aytaylik bizga ta no’malumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

Ushbu belgilashlar kiritamiz:





1-misol. Ushbu sistemani yeching:
Yechish: Bu yerda
,


;
. Bundan
2-misol. Tenglamalar sistemasini yeching:
, ,
A^-1 teskari matrisani topamiz
5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
A₁₁ = = -5; A₂₁ =- = 1; A₃₁ = = -1;
A₁₂ =- A₂₂ = A₃₂ = -
A₁₃ = A₂₃ =- A₃₃ =
;
Tekshiramiz:

X matrisani topamiz:
.
Tenglamaning sistemasining yechimi: x =1; y = 2; z = 3.
2.Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
Tenglamalar sistemasini yechishda noma’lumlar soni 4 dan katta yoki teng bo‘lganda Kramer usulidan foydalanib yechishda yuqori tartibli determinantlarnini hisoblashga to‘g‘ri keladi bunda juda ko‘p hisob-kitob ishlarini bajarish talab qiladi. Shuning uchun Gauss usulidan foydalanish maqsadga muvvofiq bo‘ladi. Agarda chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda hamda aniq bo‘lsa, uni soddoroq ko‘rinishga keltirish va barcha noma’lumlarning qiymatlarini ketma-ket topish imkonini beradi. Gauss usuli shundan iboratki, u almashtirishlar yordamida noma’lumlarni ketma-ket chiqarib, so‘ngi tenglamadan faqat bitta noma’lumni qoldiradi.
ta noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik:
(7.4)
Chiziqli tenglamalar sistemasi Gauss usulida yechish 2 boskichdan iborat.
1-bosqich.
Tenglamalar sistemasini uchburchak shakliga keltiriladi. Bu holda tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi. Uchburchak ko‘rinishga keltirish quyidagicha amalga oshiriladi: deb quyidagi nisbatlarni tuzamiz.

Agar bo‘lsa, u holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirish yoki noma’lumlarning nomerlarini aomashtirish yo‘li bilan yangi sistemada hamma vaqt bo‘lishiga erishamiz.
Gauss metodida birinchi qadam shundan iboratki, birinchi tenglamadan tashqari qolgan tenglamalarda ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har bir hadini ga bo‘lib yozamiz. Natijada berilgan (7.4) sistemaga ekvivalent bo‘lgan ushbu yangi sistema hosil bo‘ladi:

Birinchi tenglamani ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan ayiramiz, so‘ngra birinchi tenglamani ga ko‘paytirib, uchinchi tenglamadan ayiramiz va shu jarayonni davom ettirib, birinchi tenglamadan boshqa barcha tenglamalarda ni yo‘qotamiz:



2-bosqich.
Tenglamalar sistemasining yechimini oxirgi tenglamadan boshlab topib boramiz.
, , … ,