1. Chiziqli tenglamalar. Parametrik usulda berilgan kasr ratsional tenglamalarni yechish

Irratsional tenglamalar sistemasini yechish.
1 - misol. Tenglamalar sistemasi yechilsin:

Yechish. Sistemadagi tenlamaning har ikki tomonini kvadrat ko’tarib, ayniy almashtirishlarni bajarish orqali ratsional tenglamalar sistemasini hosil qilamiz;



x+y=13 bo’lgani uchun 13 + 2 bo’ladi. 25xy–72 –468=0. Agar =t desak, 25t²–72t–468=0 bo’ladi, bundan t₁=6 va t₂= ildizlarni hosil qilamiz. =6 bo’lsa, xy = 36 bo’ladi:

bu sistemani yechamiz: x = 13–y, (13–y)y=36; y²–3y=36;

J: y₁=9, y₂=4, x₁=4, x₂=9.

2 - m i s o l. tenglama yechilsin.

Ye ch i sh. bo’lsa, ikki hol bo’lishi mumkin:

a) x>0, y>0, x>y u holda

yoki x²–y²– –12=0 Endi = t desak,

t² – t – 12 = 0; t_1,2=

t₁ = 4, t₂ = –3, shuning uchun =4, bundan x²–y²=16 bo’ladi. Shuning uchun

ratsional tenglama sistemasi hosil bo’ladi. Bu tenglamani yechib, x = 5, y = 3 yechimlarni hosil qilamiz.

b) x<0, y<0 va xbo’lsa, tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi:





yoki

Natijada

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechib,

yechimlar hosil qilamiz.

3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching:

Ye ch i sh. Sistemadagi ikkinchi tenglamaning har ikkala tomonini kvadratga ko’taramiz: x + y + 2 = 16 (1) hosil bo’ladi. Sistemadagi birinchi tenglamaning har ikki tomonini ga ko’paytiramiz:

(2)

(2) dan (1) ni ayiramiz:

Sistemadagi ikkinchi tenglamadagi x o’rniga u ni qo’ysak, =4, =2, bundan y=4 bo’ladi. J: x = y = 4.

4 - m i s o l. Sistemani yeching:

Yechish: Agar va desak,

bo’ladi.

u⁴+v⁴=(u²+v²)² – 2u²v² = [(u + v)² – 2uv]² = 2u²v² = 17,

u + v = 3 bo’lgani uchun (uv)²–18uv+32=0 bundan uv=2 va uv=16 bo’ladi. Bu yechimlarga ko’ra quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

a)

Bu sistemani yechsak, quyidagi yechimlar hosil bo’ladi: u₁=1, v=2, u₂=2, v₂ = 1.

b)

bu tenglamalar sistemasini yechsak, u haqiqiy yechimga ega emas. Bu yechimlarga ko’ra quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

yechimlarni hosil qilamiz.

5-misol. Sistemani yeching:

Yechish. desak, bo’ladi, bularga ko’ra bo’ladi. Sistemadagi birinchi tenglamaning har ikkala tomonini u+v0 ga bo’lamiz. Buni yechsak, u³=8 va v²=1 yechimlar hosil bo’ladi.

U holda

bundan x=5 va u=3 yechimlar hosil bo’ladi.