1. Безнапорное движение жидкости. Особенности гидравлики безнапорных потоков

12. Вывод формулы гидравлического прыжка. Прыжковая функция. Графоаналичтический метод определения места расположения гидравлического прыжка.
Для решения многих задач гидравлики необходимо установить связь между сопряженными глубинами прыжка h₁ и h₂. При выводе уравнения, связывающего эти величины, используем закон изменения количества движения для отсека жидкости, находящегося между сечениями 1–1 и 2–2 (рис.11.2). Согласно этому закону, изменение количества движения рассматриваемого объема жидкости за малый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на отсек жидкости. .
Уравнение составим в проекциях на направление движения.
Так как прыжок имеет относительно малую длину, то при выводе уравнения используем следующие допущения:

• 
  русло, в котором возникает гидравлический прыжок, считаем достаточно длинным и цилиндрическим, имеющим прямоугольное или близкое к нему сечение;
  
• 
  уклоном дна русла в пределах прыжка можно пренебречь, считаем, что дно русла в пределах прыжка горизонтально, т. е. I₀ = 0;
  
• 
  силы трения на стенках русла в пределах прыжка малы, и ими можно пренебречь;
  
• 
  движение жидкости в сечениях 1–1 и 2–2 плавноизменяющееся, и давление в этих сечениях распределяется по гидростатическому закону;
  
• 
  коэффициенты количества движения в сечениях равны между собой: .
  

Рис. 11.2
О тсек жидкости, находившийся в начальный момент времени между сечениями 1–1 и 2–2, за малый промежуток времени переместится в положение между сечениями 1'–1' и 2'–2'. Из рис. 11.2 видно, что количество движения объема жидкости, заключенного между сечениями 1'–1' и 2–2 за это время не изменилось. Таким образом, изменение количества движения всего начального отсека определится как разность количества движения отсека 2'–2' – 2–2 и отсека 1'–1' – 1–1.
Количество движения отсека 2'–2' – 2–2 определим как
.
Величина V₂ объема отсека 2'–2' – 2–2 здесь рассчитана как произведение образующей цилиндра на площадь поперечного сечения .
Количество движения отсека 1'–1' – 1–1 определится аналогично: .
Определим теперь проекции на направление движения всех сил, действующих на выделенный объем жидкости. На этот объем действуют следующие силы:

• 
  вес объема жидкости G;
  
• 
  сила реакции дна русла R;
  
• 
  сила реакции боковых стенок русла R _бок;
  
• 
  силы трения, распределенные по поверхности дна и стенок, T₀;
  
• 
  сила давления P_д2 со стороны жидкости, находящейся вверх по течению от сечения 2–2;
  
• 
  сила давления P_д1 со стороны жидкости, находящейся вниз по течению от сечения 1–1.
  

В соответствии с вышеприведенными допущениями, силами трения мы условились пренебречь. Вес объема жидкости и силы реакции дна и боковых стенок не дают проекций на направление движения, так как они перпендикулярны этому направлению. Таким образом, следует учесть лишь параллельные направлению движения силы давления. Мы приняли движение в сечениях 1–1 и 2–2 плавноизменяющимся и распределение давления в них гидростатическим. Это значит, что сила давления равна произведению площади сечения потока на давление в центре тяжести сечения. Таким образом, силы давления выразятся как
.
Здесь y₁ и y₂ – заглубление под уровнем поверхности жидкости центров тяжести соответствующих сечений.
Объединяя полученные выражения в закон изменения количества движения для отсека жидкости, получим
.
Учитывая, что и приводя подобные члены, окончательно получим:

.

(11.1)

Это уравнение называется основным уравнением гидравлического прыжка. Из него следует, что если заданы расход и форма русла, то левая часть уравнения (11.1) зависит только от глубины h₁, а правая – только от глубины h₂. Поэтому вводят обозначение

(11.2)

где h – глубина в данном сечении, ω и y – площадь сечения и заглубление центра тяжести, соответствующие этой глубине.
Функцию называют прыжковой функцией. Тогда основное уравнение прыжка (11.1) можно записать в следующем виде: ,
т. е. прыжковые функции для сопряженных глубин равны между собой.
Из формулы (11.2) видно, что прыжковая функция стремится к бесконечности при (т. е. при ) и при (т. е. при ). Это значит, что прыжковая функция имеет минимум. Глубину, соответствующую минимуму прыжковой функции, можно найти, взяв производную этой функции и приравняв ее нулю. Оказывается, что минимум прыжковой функции соответствует критической глубине. График прыжковой функции приведен на рис. 11.3. Пользуясь этим графиком, можно по заданной глубине h₁ найти глубину h₂ и, наоборот, по известной глубине h₂ найти глубину h₁ (пример приведен на рисунке).
Рис.11.3 Рис. 11.4

Заметим, что зависимость удельной энергии сечения от глубины (рис. 10.7) имеет характер, схожий с зависимостью от глубины прыжковой функции, с минимумом при критической глубине.