1. Aniq integralning ta’riflari

1.1 – misol.  funksiya ixtiyoriy  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekanligini ko’rsating.

Yechilishi.   kesmaning  bo’linishini olamiz. Natijada  kesma  bo’laklarga bo’linadi va  deb belgilaymiz.  bo’linishga mos kelgan integral yig’indini tuzamiz:




ko’rinishda bo’ladi. Bundan
Demak,  funksiya ixtiyoriy  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi ekan.
Aniq integralning ta’rifidan, har qanday Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, lekin har qanday chegaralangan funksiya har doim ham integrallanuvchi bo’lavermaydi.


1.2 – misol. Ushbu


Dirixle funksiyasi  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.
Yechilishi.  kesmaning  bo’linishini olib, quyidagi

yig’indilarni tuzamiz.  nuqta sifatida  kesmadagi ixtiyoriy rasional nuqtani,  sifatida esa  , shu kesmadagi ixtiyoriy irrasional nuqtani olamiz. U holda,  bo’ladi. Shuning uchun,


Demak,  uchun Dirixle funksiyasining integral yig’indisi, 1.2 – ta’rifga binoan, limitga ega emas. Shuning uchun, Dirixle funksiyasi  kesmada integrallanuvchi emas.


1.3 – misol. Ushbu


funksiyaning  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi emasligini ko’rsating.