1-амалий иш Саноқ тизимлари. Позицион саноқ тизимлари

1-амалий иш

Саноқ тизимлари. Позицион саноқ тизимлари.
Бу ерда ҳар бир рақамни қиймати унинг сондаги жойлашувига боғлиқ (позициясига).

Масалан, 23=2*10+3

32=3*10+2

Иккилик тизим ўнлик тизимига (араб тизими) ўхшаб позицион тизимлар ичига киради.

Рим саноқ тизими аралаш (яъни, қисман позицион, қисман нопозицион) саноқ тизими ҳисобланади. Масалан, VII, VI, IV. Лекин албатта бир-бирига нисбатан ушбу рақамлар жойланишини ҳисобга олиш керак.

VII=5+1+1=7

VI=5+1=6

IV=5-1=4

Соннни позицион изимида тасвирлаш учун фойдаланадиган турли рақамларни қиймати (сони) саноқ тизимини асоси Р ҳисобланади. Рақамларни қиймати 0 дан (Р-1)гача.

Умуман айтганда, сиз истаган N сонни “Р” асосли саноқ тизимида қуйидаги қатор кўринишида келтириш мумкин:

N=a_m-1 * P^m-1+a_m-2*P^m-2+…+a_k*P^k+…+a₁*P¹+a₀*P⁰+…+a_-1*P^-1+a_-2*P^-2+…+a_-s*P^-s (1)

Пастдаги индекслар рақамли сондаги жойлашувини кўрсатади: индексларнинг мусбат қийматлари – соннинг бутун қисмини (m-разрядларини), манфийлари эса – касрли қисмини (S-разрядларини) кўрсатади.

Иккилик саноқ тизимини асоси Р=2 ва у маълумотни тақдимлаш учун атиги икки рақамдан фойдаланади:0 ва 1. Бир саноқ тизимидан бошқа саноқ тизимига ўтказиш қоидалари мавжуд, улар ичида (1) ҳам бор.

Масалан, 101110,101₂ =1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+0*2^-2*+1*2^-3=46,625₁₀

Шундай қилиб, исталган позицион тизимдан сонни ўнлик тизимига ўтказиш учун (1) формуладан фойдаланиш мумкин.

Ўнлик тизимидан исталган асосли саноқ тизимига ўтказиш учун (1) формуладан фойдаланиш қийин. Осонлаштириш мақсадида ўнлик сонни бутун қисмини алоҳида ва каср қисмини ҳам алоҳида иккилик тизимига ўтказиш маъқул.

1. 
   Бутун қисм, кейин эса бўлинган қисмни ҳам кетма-кет саноқ тизимининг “Р” асосига бўлинади. Кетма-кет бўлинишлар натижасида олинган натижа “0”-га айланса, жараён тўхтайди.
   

Масалан, 46,625₁₀→(2) ўнлик саноқ тизимидан иккилик саноқ тизимига ўтказамиз.

Бутун қисми 46 сонини алоҳида ўтказиб оламиз.

_		4	6				2
		4	6		_		2		3				2
				0				2		2		_		1		1				2
									1				1		0		_		5						2
															1				4				_		2				2
																			1						2				1
																									0

2. 
   
   

0,625*2=1,250;

0,250*2=0,500;

0,,500*2=1,000 (каср қисми 0-га тенг).

Олинган натижалардаги бутун қисмини чапдан ўнгга (юқоридан пастга) кетма-кет ёзиб чиқамиз – 0,101 яъни, 0,625₍₁₀₎=0,101₍₂₎ .

Демак, охирги натижа: 46,625₁₀=101110,101₍₂₎ .

Компьютерда ишлашда 10-лик ва 2-лик саноқ тизимларидан ташқари иккилик-ўнлик ва 16-лик саноқ тизимлари ишлатилади. Иккилик-ўнлик тизимида ҳар бир ўнлик тизимига тегишли рақам тетрада (4 та иккилик разряд) билан белгиланади. Масалан, 0=0000, 1=0001, 2=0010 ва ҳ.к. 327₍₁₀₎= 0011 0010 0111

Иккилик-ўнлик тизим маълумотларни компьютерга киритишда ва дастурлашда ишлатилса (масалаларни тайёрлаш ва дастурлашга қулай), 16 лик Қолдиқларни ўнгдан чапга ёзамиз:101110=46₁₀

Каср қисмини иккилик тизимига алоҳида ўтказамиз:сонлар иккилик сонларни қисқартириш учун қулай.

16-лик саноқ тизими кўпинча дастурлашда ишлатилади. Ушбу тизимда 9 рақамдан катта рақамни белгилаш учун ҳарфлардан фойдаланилади: А=10, В=11, С=12, D=13, E=14, F=15.

Масалан, 16-лик сон F17B, иккилик кўринишда – 1111000101111011, ўнлик кўринишда - 61819

Иккилик сонни 16-ликга ўтказиш учун иккилик сонни кичик битларидан бошлаб, тетрадаларга бўлиб чиқиш керак.

Масалан, 111010(2) 16-ликда ушбу сонни кўриниши А=1010, 3=0011

Демак, 111010 ₍₂₎=3А₍₁₆₎ тенг бўлар экан.

1-Жадвал.

10-лик	16-лик	Иккилик
		8	4	2	1
0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1
2	2	0	0	1	0
3	3	0	0	1	1
4	4	0	1	0	0
5	5	0	1	0	1
6	6	0	1	1	0
7	7	0	1	1	1
8	8	1	0	0	0
9	9	1	0	0	1
10	A	1	0	1	0
11	B	1	0	1	1
12	C	1	1	0	0
13	D	1	1	0	1
14	E	1	1	1	0
15	F	1	1	1	1

Иккилик арифметикаси
Микропроцессор (МП)ларда қўшиш, айириш ва кўпайтириш оддий арифметик амаллар сингари бажарилади. Микропроцессорларни кўпчилиги иккилик сонларни қўшиш ва айириш буйруқларига эга, лекин уларнинг камчилиги (масалан, Intel 8086, 8088)кўпайтириш ва бўлиш буйруқларига эга эмаслар.

Қуйида иккилик қўшиш, айириш ва кўпайтиришнинг оддий қоидалари келтирилган.

Қўшиш мисоли Айириш мисоли

00111011 ^+ 00101010	59 ^+42	01010101 ^-00111001	85 ^-57
01100101 (2)	101 (10)	00011100(2)	28(10)
Кўпайтириш мисоли

1101 ^* 101		13 ^*5
1101 + 0000		65 (10)
1101
1000001(2)

Қўшимча код

Одатда компьютер ахборотга иккилик кодда ишлов беради. Лекин, агар белгили сонларга ишлов бериш керак бўлса, у ҳолда махсус қўшимча код ишлатилади. Қўшимча кодни тушунтириш учун қуйида микпроцессорни регистрини ёки хотира ҳужайраларини тасвирини келтирамиз:

Разрядлар																	Разрядлар
7	6		5		4		3		2		1		0			7		6	5	4	3	2	1	0
128		64		32		16		8		4		2	1			(+)		64	32	16	8	4	2	1

Иккилик позицияларини вазнлари ишора бити

а)иккилик позицияларини б)мусбат сонларни ишора

жойлашиши; битида ифодалаш;

	Разрядлар
	7	6	5	4	3	2	1	0
	1
	(-)

Ишора бити Қўшимча код

в) манфий сонларни ишора битида ифодалаш
1-расм. МП регистрининг тасвири.
1-расмда 8-разрядли намунавий регистрлар структураси келтирилган. Одатда 7-бит ишорали бит ҳисобланади. Агар сон мусбат бўлса, 7-битга “0” ёзилади, агар сон манфий бўлса, 7-битга “1” яъни, “-” ёзилади.

2-Жадвал.

Ўнликлар	Ишорали сонлар	Илова
+127	0111 1111	Мусбат сонлар тўғри иккилик сонларни шакли кўринишида тақдим қилинганлар.
...	...
+8	0000 1000
+7	00000111
+6	00000110
+5	00000101
+4	00000100
+3	00000011
+2	00000010
+1	00000001
0	00000000
-1	11111111
-2	11111110	Манфий сонлар эса қўшимча кодда [яъни, разрядларни жами тескари кодга айлантирилади ва охирги(кичик) разрядга 1 қўшилади] тасвирланган.
-3	11111101
-4	11111100
-5	11111011
-6	11111010
-7	11111001
-8	11111000
...	...
-128	10000000

Қўшимча кодда арифметика
МП қўшимча кодда амаллар бажаришининг сабаблари бу – уни инверсиялаш (тескари кодга айлантириш) ва инкрементлаш (сонга “1” ни қўшиш) амалларни бажаришга имкони борлиги ҳисобланади. Биз ўрганган ҳолда (яъни, тўғри ҳисоблашни) билмайди. Унинг таркибида фақат жамлагичлар бор, шунинг учун айириш амалларини бажариш учун МП қўшимча коддан фойдаланади.

“5” ва “3” сонларини қўшамиз (қўшимча кодда).

Ўнлик кўринишда: Иккиликда:

(+5)		00000101
^+(+3)		^+00000011
(+8)		00001000 (2)=8(10)

Мусбат сонларни қўшимча кодлари тўғри кодлардан фарқланмайди.

“+7” ва “-3” сонларини қўшамиз. Қўшимча кодда ушбу сонлар: +7₍₁₀₎=0000 0111₍₂₎ ва -3₍₁₀₎=1111 1101₍₂₎. Уларни оддий сонлардек жамлаймиз:

1-сон	(+7)	0000 0111
	+	+
2-сон	(-3)	1111 1101
	(+4)	100000100

Тўлиб кетиши

Энг катта бит бу ерда 8 разрядли регистрни тўлиб кетиши натижасида у ташлаб юборилади ва натижа қуйидагича бўлади: 0000 0100₍₂₎ яъни, “+4₍₁₀₎”

Энди “+3” ва “-8” сонларини қўшамиз. Қўшимча кодда ушбу сонлар: +3₍₁₀₎=0000 0111₍₂₎ ва -3₍₁₀₎=1111 1101₍₂₎. Уларни оддий иккилик сонлардек жамлаймиз:

1-сон	(+3)	0000 0011
	+	+
2-сон	(-8)	1111 1000
	(-5)	1111 1011

Компьютерда сонларни ифодалаш
Компьютерда сонларни икки хил шаклда ифодалаш мумкин:

1. 
   Табиий шакл, яъни қўзғалмас нуқтали шакл;
   
2. 
   Нормал шакл, яъни сузувчи нуқтали шакл.
   

Қўзғалмас нуқтали шаклда сонларни бутун қисмини каср қисмидан ажратиб турган нуқта (вергул) доимо жойида туради. Масалан, 10-лик тизимида келтирилган сонни бутун қисмигача 5-та разряд, каср қисмига эса 5 та разряд ажратилган бўлса, ушбу разряд сеткасига жойлашган сонларни кўриниши қуйидагича бўлади:

+00721,35500

+00000,00325

-10211,20260

Ушбу шакл энг оддий ва табиий, лекин сонларни ифодалаш диапазони тор. Шунинг учун кўпинча ушбу шакл ҳисоб-китобларга тўғри келмайди. Масалан, сонларни кўпайтиришда , кўпинча бутун разрядлар тўлиб тошиб кетиши мумкин кейинчалик ҳисоблашларни давом этишнинг маъноси йўқолади. Замонавий компьютерларда ушбу шакл фақат бутун сонларни қайта ишлашда ёрдамчи шакл сифатида ишлатилади. Компьютерни хотирасида ушбу шаклдаги сонлар уч форматда сақланиши мумкин:

1. 
   Ярим сўз – одатда 16 бит (иккита байт);
   
2. 
   Сўз – 32 бит (4 байт);
   
3. 
   Иккиталик сўз – 64 бит (8 байт).
   

Агар қўзғалмас нуқтали сон манфий бўлса, у разряд сеткага қўшимча код кўринишида ёзилади.

Сузувчи нуқтали (вергулли) шаклда сон икки хил кўринишдаги рақамларда ифодаланади: мантисса ва тартиб гуруҳлар. Ушбу ҳолда мантиссани абсолют қиймати 1-дан кам бўлиб, тартиби эса бутун сон бўлиши керак. Сонни умумий кўриниши қуйидагидек бўлиши керак:

N=±M*P^±r

Бу ерда, М – сонни мантиссаси (׀М׀<1);

r- сонни тартиби (бутун сон);

р- саноқ тизимини асоси.

Масалан, юқорида келтирилган сонлар нормаллаштирилгaн кўринишда қуйидагидек ёзиладилар:

+00721355*10³

+325*10^-3

-102112026*10⁵

Нормал шакл берилган сонни катта диапазонини таъминлаши учун у, замонавий компьютерларда асосий шакл сифатида қабул қилинган. Масалан, Р=2, m=22 ва r=10 бўлса, сонни диапазони тахминан 10^-300 дан 10³⁰⁰ гача бўлиши мумкин.

Айтиб ўтиш керакки, сузувчи вергулли сонларни ҳаммаси хотирада нормаллаштирилган кўринишда сақланади. Демак, иккилик сонлар учун 0,5< ׀М׀<1 ифода ўринли.

Комьютерларни разряд сеткаси ушбу шаклда ёзилган иккилик сон учун қуйидаги тузилишга эга:

• 
  нолинчи разряд – бу сонни белгиси (0-мусбат, 1-манфий);
  
• 
  1 дан 7-разрядгача тўғри иккилик кодда тартиб ёзилади, бўш разрядлар нол билан тўлдирилади. Тартибга тегишли биринчи разрядда тартибни ишораси ёзилади;
  
• 
  8 дан 31 (ёки 63) гача мантисса чапдан ўнгга ёзилади ва бўш разрядлар ноль билан тўлдирилади.
  

ТОПШИРИҚЛАР

1. 
   873,9X₍₁₀₎→(2)
   
2. 
   11011011X₍₂₎ →(10)
   
3. 
   0,101100X₍₂₎ →(10) ва (16)
   
4. 
   110111,01X₍₂₎ →(10) ва (16)
   
5. 
   Қуйидаги иккилик сонларни 10-лик кодига айлантиринг: а) 10000000X; б) 00010000X; в) 00110011X; г) 01100100X; д)00011111X; е)11111111X.
   
6. 
   Қуйидаги ўнлик сонларни 2-лик кодига айлантиринг:
   

а) 23X; б)39X; в) 55X; г)48X; д)0,7X; е)0,9X; ж)79,2X.

7. 
   XF₍₁₆₎ →(2); CXE₍₁₆₎ →(2); 6DX₍₁₆₎→(2).
   
8. 
   Қуйидаги иккилик сонларни қўшинг:
   

   а)010110Х 0000Х11

   б)001111Х 000Х111

9. 
   Қуйидаги иккилик сонларни айиринг:
   

   а)011001Х 0001Х10

   б)011110Х 001Х111

10. 
    Қуйидаги иккилик сонларни кўпайтиринг:
    

    а)11Х 1Х1

    б)11Х 1Х1

    в)11Х 111

11. 
    2-жадвалдан фойдаланган ҳолда қуйидаги ўнлик сонларни қўшимча кодларини келтиринг.
    

а) +Х; б) -Х; в) +12; г) -1; д) -12; е) -126.

12. 
    Қуйидаги қўшимча кодда ёзилган сонларни 10-лик эквивалентларини келтиринг.
    

а) 11111011; б)00001111; в) 10001111; г)01110111.

13. 
    Қуйидаги ўнлик сонларни қўшимча кодлар усулидан фойдаланиб қўшинг:
    

    а) (+7) (+Х)	б) (+Х) (+26)
    в) (+Х) (-5)	г) (+89) (-Х)

14. 
    Қўшимча кодлар усулидан фойдаланиб айириш амалини бажаринг.
    

    а) (+Х) (+2)

    б) (+1Х) ( + 50)

15. 
    N=101Х, N=-111Х – сонларни тескари нормаллаштирилган кодини келтиринг.
    
16. 
    Юқорида келтирилган сонларни қўшимча кодларини келтиринг ва сузувчи нуқтали шаклда 16-разрядли компьютерни хотирасида сақлаш форматини келтиринг (Бунда, мантиссага-8 разряд, тартибига-8 разряд ажратилган бўлса).
    

									Разрядлар
	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
									1
									(-)

Ишора Тартиб

разряди разряди

тартиб мантисса
Изоҳ: Х ҳарфнинг ўрнига гуруҳингиздаги тартиб рақамингизни қўйиб мисолларни ечинг. Керакли жойда уни бошқа саноқ тизимига ўзгартириб, мисолни ечинг.