A
D
B
C
O
1
3
2
4
32
Savol, masala va topshiriqlar
A
D
B
C
33
F
E
D
B
C
3
4
A
a
19
44.
Agar: 1
∠
1
=
70°,
∠
3
=
110°,
∠
≠ ∠
4;
∠
1
= ∠
=
60°,
∠
3
=
115°
bolsa
35- rasm
, u holda
ABCD
tortburchak parallelogramm bo-
ladimi?
Quyida yechish jarayonidagi muhim joylar ajratib korsatilgan.
Y e c h i l i s h i .
1
ABCD
tortburchakda ikkita
AB
va
CD
tomonlar pa-
rallel, chunki
∠
1
+
∠
3
=
70°
+
110°
=
180°
. Bu burchaklar
AB
va
DC
togri chiziqlar hamda
AD
kesuvchi hosil qilgan
ichki bir tomonli
burchaklar
.
AB
||
DC
bolgani sababli,
∠
1
= ∠
4
boladi
mos burchak-
lar
.
ABCD
tortburchakning qolgan ikki
AD
va
BC
tomonlari parallel
emas, chunki ichki almashinuvchi
1
va
2
burchaklar teng emas
∠
1
= ∠
4
≠ ∠
. Demak,
ABCD
tortburchak
parallelogramm
bola ol-
maydi.
Xuddi yuqoridagiga oxshash muhokama yuritib, yechimni rasmiy-
lashtirishni ozingizga havola qilamiz.
45.
Agar tortburchakning ikkita qarama-qarshi burchagi teng bolsa, u
parallelogramm boladimi?
46.
Parallelogramm tomonlari ortalarini tutashtirishdan hosil bolgan
tortburchak parallelogramm ekanini isbotlang.
47.
ABC
uchburchakning
AO
medianasi oziga teng
OP
kesmaga davom
ettirildi.
ABPC
tortburchakning parallelogramm ekanini isbot qiling.
48.
ABCD
parallelogrammning
BC
tomoni ortasi
E
nuqtadan,
AD
tomoni
ortasi
F
nuqtadan iborat.
BEDF
tortburchakning parallelogramm eka-
nini isbotlang.
49.
AB
,
BC
va
AC
kesmalar, mos ravishda,
ABCD
parallelogrammning to-
monlari va diagonalidir. Sirkul va chizgich yordamida
ABCD
parallelo-
grammni yasang
36- rasm
.
50.
Ikkita teng va parallel kesmalar berilgan. Ular-
ning oxirlari ozaro kesishmaydigan kesmalar
bilan tutashtirilgan. Hosil bolgan tortburchak
parallelogramm boladi, deyish togrimi?
51.
AB
va
CD
kesmalar aylananing diametr-
lari.
ACBD
tortburchak qanday shakl boladi
37- rasm
?
A
D
C
2
1
3 4
3
5
3
6
B
C
A
B
A
3
7
O
D
C
B
0
T e s k a r i t e o r e m a .
T e o r e m a .
T a r i f
.
Hamma burchaklari togri bolgan parallelogramm
togri
tortburchak
deb ataladi
38-
a
rasm
.
Togri tortburchak parallelogrammning xususiy holi bolgani uchun u
parallelogrammning barcha xossalariga ega boladi: togri tortburchakning qa-
rama-qarshi tomonlari teng; diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo-
linadi; togri tortburchakning diagonali uni ikkita teng togri burchakli uch-
burchakka ajratadi.
Togri tortburchakning oziga xos xossasini korib chiqamiz.
Togri tortburchakning diagonallari ozaro teng.
I s b o t .
ABCD
togri tortburchak berilgan bolsin.
AC
=
BD
bolishini
isbot qilamiz
38-
b
rasm
.
Togri burchakli
ACD
va
DBA
uchburchaklar ikki katetiga
AD
umumiy
tomon,
CD
=
BA
kora teng. Bundan bu uchburchaklar gipotenuzalarining
tengligi, yani
AC
=
BD
kelib chiqadi.
Bu teoremadan quyidagi teskari teorema kelib chiqadi.
Agar parallelogrammning diagonallari teng bolsa, u togri tortburchakdir
.
I s b o t .
ABCD
parallelogrammda
AC
va
BD
diagonallar teng bolsin
38-
b
rasmga q.
.
ABD
va
DCA
uchburchaklar uch tomoniga kora teng
AB
=
DC
,
BD
=
CA
,
AD
umumiy tomon
. Bundan
∠
A
=
∠
D
kelib chiqadi. Parallelo-
grammning qarama-qarshi burchaklari teng, shuning uchun
∠
A
= ∠
C
va
∠
B
= ∠
D
. Shunday qilib,
∠
A
= ∠
B
= ∠
C
= ∠
D
. Parallelogramm qavariq tort-
burchak, shuning uchun:
∠
A
+ ∠
B
+
∠
C
+ ∠
D
=
360°.
5 - m a v z u .
TOGRI TORTBURCHAK VA UNING XOSSALARI
A
D
B
C
A
D
B
C
a
b
a
b
q
p
A
D
B
C
F
A =
F
B =
F
C =
=
F
D = 90°;
P = 2(a + b)
b
a
a
b
3
8
3
9
1
Bundan
∠
A
= ∠
B
= ∠
C
= ∠
D
=
90°, yani
ABCD
parallelogrammning togri
tortburchak ekani kelib chiqadi. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
1- m a s a l a .
Ikkita qoshni tomoni
a
va
b
bolgan togri tortburchakni
yasang.
Y a s a s h .
A
togri burchak yasaymiz
39- rasm
. Uning tomonlarida
AD
=
a
va
AB
=
b
kesmalarni qoyamiz.
B
va
D
nuqtalar orqali
p
⊥
AB
va
q
⊥
AD
togri
chiziqlarni otkazamiz.
p
⊥
AB
va
AD
⊥
AB
bolgani uchun
p
||
AD
boladi.
q
togri chiziq
AD
togri chiziq bilan kesishgani sababli, u unga parallel bolgan
p
togri chiziqni biror
C
nuqtada kesadi. Hosil bolgan
ABCD
tortburchak
togri tortburchak boladi. Unda yasashga kora,
A
,
B
va
D
burchaklar togri,
C
burchak ham togri.
Agar togri chiziq ikkita parallel togri chiziqdan biriga
perpendikular bolsa, u ikkinchi togri chiziqqa ham perpendikular boladi.
Togri tortburchaklarni yasashning boshqa usullari ham bor.
2
- m a s a l a .
ABCD
togri tortburchak
B
burchagining bissektrisasi
AD
tomonni
P
nuqtada kesadi hamda uni
AP
=
17 sm va
PD
=
1 sm li kesmalarga ajratadi
40- rasm
.
Shu togri tortburchakning perimetrini
toping.
Y e c h i l i s h i
.
1
ABCD
togri tort-
burchak bolgani uchun
AD
||
BC
va shuning
uchun
∠
= ∠
3
ichki almashinuvchi bur-
chaklar
. Biroq, shartga kora,
∠
=
∠
1
,
demak,
∠
1
= ∠
3
hamda
ABP
asosi
BP
bolgan teng yonli uchburchak. Shunday qilib,
AB
=
AP
=
17 sm.
AD
=
AP
+
PD
=
17
+
1
=
38
sm
;
P
ABCD
=
AB
+
AD
=
·
17
+
38
=
· 55
=
110
sm
.
J a v o b :
P
ABCD
=
110 sm.
3
- m a s a l a .
ABCD
togri tortburchakning perimetri
4 sm ga, uning
BD
diagonali esa 9 sm ga teng.
ABD
uchburchakning perimetrini toping.
Y e c h i l i s h i .
AB
+
AD
=
P
ABCD
:
=
4 :
=
1
sm
qoshni tomonlar yi-
gindisi
38-
b
rasmga q.
.
P
ABD
=
AB
+
AD
+
BD
=
1
+
9
=
1
sm
.
J a v o b :
P
ABD
=
1 sm.
5
2
.
1
Qanday parallelogramm togri tortburchak deb ataladi?
Togri tortburchakning diagonallari teng ekanini isbotlang.
5
3
.
Togri tortburchakning perimetri 54 sm ga, tomonlaridan biri esa
ikkinchisidan 3 sm ga uzun. Qoshni tomonlar uzunliklarini toping.
54.
Togri tortburchakning bissektrisalaridan biri togri tortburchak to-
monini teng ikkiga boladi. Togri tortburchakning kichik tomoni
1
sm ga teng bolsa, uning perimetrini toping.
A
D
P
B
C
1
2
3
40
Savol, masala va topshiriqlar
55.
ABCD
togri tortburchakda
AC
diagonal otkazilgan.
BAC
burchak
ACB
burchakdan
marta katta ekani malum. Shu burchaklarni toping.
56.
Togri tortburchakning kichik tomoni 10 sm ga teng, diagonallari esa
60° li burchak ostida kesishadi. Shu togri tortburchakning diagonal-
larini toping.
57.
Togri tortburchakning perimetri
4 sm. Togri tortburchakning ix-
tiyoriy ichki nuqtasidan uning tomonlarigacha bolgan masofalar yigin-
disini toping.
58.
ABCD
togri tortburchakning
AC
va
BD
diagonallari
O
nuqtada kesi-
shadi, shu bilan birga
∠
AOB
=
50°
41- rasm
.
∠
DAO
ni toping.
Y e c h i l i s h i . 1
ABCD
togri tortburchak bolgani uchun uning
diagonallari
O
nuqtada
kesishadi
va kesishish nuqtasida
teng ikkiga bo-
linadi
, bundan
AOB
teng yonli
va
∠
BAO
= ∠
ABO
=
180°
−
50
°
:
2
=
65
°
ekani kelib chiqadi.
∠
DAO
= ∠
BAD
−
∠
BAO
=
90°
−
65
°
=
2
5
°.
J a v o b :
∠
DAO
=
2
5
°. E s l a t m a ! Muhim joylar ajratib korsatilgan.
59.
1
Agar tortburchak diagonallari teng va ular kesishish nuqtasida teng
ikkiga bolinsa, bu tortburchak togri tortburchak bolishini isbot qiling.
Agar tortburchakning uchta ichki burchagi togri burchak bolsa,
uning qarama-qarshi tomonlari parallel boladi. Buni isbot qiling.
60.
ABCD
togri tortburchakning
BD
diagonali
AB
tomon bilan 65° li bur-
chak tashkil qiladi. Shu togri tortburchakning diagonallari kesishishi-
dan hosil bolgan otkir burchakni toping.
61.
ABCD
togri tortburchakning perimetri
4 sm ga teng.
P
nuqta
BC
tomonning ortasi,
∠
APD
=
90°
4
- rasm
. Shu togri tortburchak-
ning tomonlarini toping. Bosh joylarga mos javoblarni yozing.
Y e c h i l i s h i .
BP
=
PC
va
AB
=
DC
bolgani uchun
ABP
=
DCP
...
. Bundan
∠
BPA
= ∠
CPD
kelib chiqadi. Shartga kora,
∠
APD
=
...°,
demak,
∠
BPA
+
∠
CPD
=
...° boladi. U holda
∠
BPA
=
45° va
ABP
teng yonli. Shunday qilib,
AB
+
BC
=
AB
+
AB
, yani 3
AB
=
1
sm,
bundan
AB
=
... sm,
BC
=
... sm.
6
2
.
ABCD
togri tortburchakning
AB
tomoni 6 sm ga, diagonallari esa
10 sm ga teng.
O
togri tortburchak diagonallarining kesishish nuq-
tasi.
COD
uchburchakning perimetrini toping.
A
D
B
C
4
2
50°
O
B
41
Ñ
A
D
P
3
T e o r e m a .
6- m a v z u .
ROMB VA UNING XOSSALARI
T a r i f .
Tomonlari teng bolgan parallelogramm
romb
deyiladi
43-rasm
.
Romb parallelogrammning umumiy xossalariga ega bolgan holda yana
quyidagi xossaga ega:
Rombning diagonallari ozaro perpendikular hamda rombning burchak-
larini teng ikkiga boladi
.
I s b o t .
ABCD
berilgan romb
44- rasm
,
O
uning diagonallari kesish-
gan nuqta bolsin.
AC
⊥
BD
va har bir diagonal rombning mos burchaklarini
teng ikkiga bolishini
masalan,
∠
BAC
= ∠
DAC
isbotlaymiz.
Rombning tarifiga kora,
AB
=
AD
, shuning uchun
BAD
uchburchak teng
yonli. Romb parallelogramm bolgani uchun uning diagonallari kesishish nuqta-
sida teng ikkiga bolinadi, yani
BO
=
OD
. Demak,
AO
teng yonli
BAD
uch-
burchakning medianasi. Teng yonli uchburchakning xossasiga kora, uning asosi-
ga otkazilgan mediana ham bissektrisa, ham balandlik boladi. Shuning uchun
AC
⊥
BD
va
∠
BAC
= ∠
DAC
. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
1- m a s a l a .
ABCD
rombning
BD
diagonali tomoni bilan 35° li burchak
hosil qiladi. Uning burchaklarini toping.
Y e c h i l i s h i .
∠
ABD
=
35°, deylik
45- rasm
. U holda
∠
CBD
=
35°
romb-
ning xossasiga kora
.
∠
ABC
=
∠
ABD
=
35°
=
70°,
∠
ADC
= ∠
ABC
=
70°
paral-
lelogrammning xossasiga kora
,
∠
DAB
=
180°
− ∠
ABC
parallelogrammning 3- xos-
sasiga kora
. Demak,
∠
DAB
=
180°
−
70°
=
110°,
∠
BCD
=
∠
DAB
=
110°
parallelo-
grammning xossasiga kora
. J a v o b : 70°, 110°, 70°, 110°.
2
- m a s a l a .
Har xil romblarning perimetrlari teng bolishi mumkinmi?
Y e c h i l i s h i . Perimetrlari teng bolgan romblar bir-biridan burchaklari
bilan farq qiladi. Agar rombning otkir burchagi: 1
40° ga teng bolsa, u holda
qolgan burchaklari, mos ravishda, 140°, 40°, 140° boladi;
15° ga teng bolsa,
u holda qolgan burchaklari, mos ravishda, 165°, 15°, 165° boladi va h.k.
Shuningdek, otkir burchak orniga turli otmas burchaklarni olish mumkin.
J a v o b : ha, mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |