1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

a
b
d
97

---

53
T e o r e m a .
O‘zaro simmetrik shakllardan biri ikkinchisining simmetrik 
aksi
deb nomla-
nadi. Albatta, agar 
Q
shakl 
Q
1
shaklning simmetrik aksi bo‘lsa, 
Q
1
shakl ham
Q
shaklning simmetrik aksi bo‘ladi.
To‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik ikkita geometrik shakl o‘zaro tengdir.
2.2. O‘qqa nisbatan simmetriyaning xossasi.
Shakl o‘qqa nisbatan simmetrik akslantirilganda uning nuqtalari orasidagi
masofa o‘zgarmaydi, ya’ni saqlanadi.
I s b o t .
F
shaklning 
l
o‘qqa nisbatan simmetrik aksi 
F
1
bo‘lsin (99-rasm).
F
shaklning ixtiyoriy 
A
va 
B
nuqtalarini olaylik. Ularga simmetrik bo‘lgan nuq-
talarni, mos ravishda, 
A
1
va 
B
1
bilan belgilaymiz. Bu yerda biz 
A
va 
B
nuqtalar
l
to‘g‘ri
chiziqqa nisbatan bir tomonda yotgan holni ko‘ramiz.
AB
=
A
1
B
1
ekanini isbot qilishimiz kerak. Isbot qilish uchun 
AA
1
kesmaning
l
o‘qi bilan kesishgan nuqtasini 
C 
bilan, 
BB
1
kesmaning 
l
o‘qi bilan kesishgan
nuqtasini 
D
bilan belgilaymiz. So‘ngra 
D
nuqtani 
A
va 
A
1
bilan tutashtiruvchi 
DA
va 
DA
1
kesmalarni o‘tkazamiz. Hosil bo‘lgan 
ACD
va 
A
1
CD
to‘g‘ri burchakli
uchburchaklar o‘zaro teng (ikki katetiga ko‘ra), chunki ularda 
CD
katet umumiy
hamda 
A
va 
A
1
– simmetrik nuqtalar bo‘lgani uchun 
AC
=
CA
1
. Bundan
AD
=
A
1
D
va 
∠
ADC
= ∠
A
1
DC
kelib chiqadi.
Endi 
ADB
va 
A
1
DB
1
uchburchaklarni solishtiramiz. Bularda 
BD
=
B
1
D
, chunki
B
1
nuqta
B
ga simmetrik. Yuqorida 
AD
=
A
1
D
ekanini isbot qildik.
∠
ADB
= ∠
A
1
DB
1
, chunki ular o‘zaro teng bo‘lgan burchaklarni 90° ga to‘ldi-
ruvchi burchaklar, ya’ni 
∠
ADB
=
90°
− ∠
ADC
va 
∠
A
1
DB
1
=
90°
− ∠
A
1
DC
. Demak,
qaralayotgan 
ADB 
va 
A
1
DB
1
uchburchaklarda mos ikki tomon va ular orasidagi
burchak teng ekan. Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko‘ra, bu uch-
burchaklar teng. Bundan 
AB
=
A
1
B
1
ekani kelib chiqadi.
Ma’lumki, 
A
va 
B
nuqtalarni ixtiyoriy oldik. Shunday hol bo‘lishi mumkinki,
A
, 
B
, 
A
1
va 
B
1
nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotib qoladi. U holda ham teorema
isboti simmetriya xossasidan oddiygina hosil qilinadi (100-rasm). Haqiqatan
ham, 
AC
=
A
1
C
va 
BC
=
B
1
C
ekani ravshan. Shuning uchun 
AB
=
AC
−
BC 
va
A
1
B
1
=
A
1
C
−
B
1
C
, bundan
AB
=
A
1
B
1
kelib chiqadi.
Demak, 
F
shaklning ixtiyoriy 
A
va 
B
nuqtalari orsidagi masofa 
l
to‘g‘ri
chiziqqa nisbatan simmetriyada o‘zgarmas ekan. Teorema isbotlandi.