1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

?l
hunday qilib, aylananing markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar uning sim­metriya o‘qlari bo‘ladi.
Savol, masala va topshiriqlar

183. 
     1) Shaklning simmetriya o‘qi nima?
     

2. 
   Simmetriya o‘qiga ega bo‘lgan jismlarga, shakllarga misollar keltiring. Shakl nechta simmetriya o‘qiga ega bo‘lishi mumkin?
   
3. 
   Berilgan burchakning bissektrisasi sirkul va chizg‘ich yordamida qan- day yasaladi?
   

1) Kvadrat bo‘lmagan rombning; 2) kvadratning; 3) nurning; 4) teng yonli uchburchakning nechta simmetriya o‘qi bor

?

183. 
     
184. 
     Teng yonli uchburchakning uchidan o‘tkazilgan balandligi (simmetriya o‘qi) undan perimetri 36 sm ga teng uchburchak kesadi. Agar berilgan teng yonli uchburchakning perimetri: 1) 48 sm ga; 2) 60 sm ga;
     

2. 
   40 sm ga teng bo‘lsa, balandligining uzunligini hisoblang.
   

183. 
     1) Berilgan ikki nuqtaning nechta simmetriya o‘qi bor?
     

2) Kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziqning nechta simmetriya o‘qi bor?

183. 
     To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasidan uning tomon- lariga parallel ravishda o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar shu to‘g‘ri to‘rtbur- chakning simmetriya o‘qlari bo‘lishini isbot qiling.
     
184. 
     Romb diagonallari uning simmetriya o‘qlari bo‘lishini isbotlang.
     
185. 
     Agar uchburchakning simmetriya o‘qi mavjud bo‘lsa: 1) u uchburchak uchlarining biridan o‘tishini; 2) uchburchak teng yonli bo‘lishini isbot qiling.
     
186. 
     Teng yonli uchburchak ikki tomonining uzunligi: 1) 6 sm va 14 sm;
     

2. 
   10 sm va 5 sm; 3) 21 sm va 24 sm bo‘lsa, asosi va yon tomonining uzunliklarini toping.
   

183. 
     Ushbu lotin alifbosidagi harflardan qaysilari: 1) bitta simmetriya o‘qiga ega; 2) ikkita simmetriya o‘qiga ega?
     

A, B, C, D, E, F, H, I, J, K, L, M, N, P, O, Q, R, S,
T, U, V, X, Y, Z, W

183. 
     115-rasmda: 1) ODB va OCA uchburchaklarning tengligini isbotlang;
     

2. 
   teng kesmalar juftlarini, teng burchaklar juftlarini toping;
   
3. 
   qaysi nuqtalar, kesmalar va uchburchaklar OP dan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa (o‘qqa) nisbatan simmetrik bo‘ladi?
   

183. 
     k va l to‘g‘ri chiziqlar ABCD to‘g‘ri to‘rtburchakning simmetriya o‘qlari (116-rasm). EF = 20 sm va KL = 15 sm bo‘lsa, EBCF va ABCD to‘rt- burchaklarning perimetrlarini toping.
     
184. 
     l to‘g‘ri chiziq ABC uchburchakning simmetriya o‘qi (117- rasm). Uch­burchakning perimetri 46 sm. AO = 6,5 sm bo‘lsa, shu uchburchakning AC va BC tomonlarini toping.
     
185. 
     Q anday holda to‘g‘ri chiziq o‘q simmetriyasida unga parallel to‘g‘ri chiziqqa o‘tadi?
     

16- mavzu.	MARKAZIY SIMMETRIYA VA UNING XOSSALARI

1. 
   Nuqtaga nisbatan (markaziy) simmetriya. Tekislikda O nuqtadan o‘tuvchi
   

50. 
    to‘g‘ri chiziqni qaraylik (118- rasm). To‘g‘ri chiziqdagi A va A₁ nuqtalar uchun AO = OA₁ shart bajarilsa, ya’ni A va A₁ nuqtalar O nuqtadan teng uzoqlikda bo‘lsa, A₁ nuqta A nuqtaning O nuqtaga nisbatan simmetrik nuqtasi deb ataladi. Buning aksi ham to‘g‘ri, ya’ni A₁ nuqta A ning simmetrik nuqtasi. Bunda O nuqta simmetriya markazi deb ataladi.
    

1 19- rasmda A va A_b B va B₁ nuqtalar O nuqtaga nisbatan simmetrik; C va D nuqtalar esa O nuqtaga nisbatan simmetrik emas, chunki CO Ф OD.





Ta’rif. Agar F? shaklning har bir nuqtasi F shaklning mos nuqtalarining O nuqtaga nisbatan simmetrik nuqtasi bolsa, F va F? shakllar O nuqtaga nis- batan markaziy simmetrik shakllar deb ataladi.
O nuqta F va F₁ shakllarning simmetriya markazi deb ataladi.

2. 
   Markaziy simmetriyaning xossalari.
   

1. 
   teorema.
   

Nuqtaga nisbatan simmetrik shakllarda mos nuqtalar orasidagi masofalar teng hamda burchak kattaligi saqlanadi.
Isbot. F va F₁ markaziy simmetrik shakllar bo‘lib, A va B nuqtalar F shakl­ning ixtiyoriy nuqtalari hamda A₁ va B₁ nuqtalar F₁ shaklning A va B ga mos kel- gan simmetrik nuqtalari bo‘lsin (120- rasm). AB = A₁B₁ ekanini isbot qilish kerak.
Isbot qilish uchun ABO va A₁B₁O uchburchaklarni taqqoslaymiz. Bu uchbur- chaklarda AO = A₁O va BO = B₁O, chunki A, B va A₁, B₁ nuqtalar markaziy simmetrik nuqtalar. Shuningdek, ZAOB =ZA₁OB₁, chunki vertikal burchaklar. Demak, taqqoslanayotgan uchburchaklarda ikkita mos tomonlar va ular orasi­dagi burchak teng. Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko‘ra: AABO = A₁B₁O. Bundan mos tomonlar bo‘lgani uchun AB = A₁B₁.
Agar A, B nuqtalar O dan o‘tuvchi bir to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lsa, AB = A₁B₁ ekanligi markaziy simmetriya ta’rifidan kelib chiqadi.
F va unga simmetrik bo‘lgan F₁ shakl berilgan bo‘lsin (121- rasm). Bu shakl- larga tegishli uchta A, B, C va ularning aksi bo‘lgan A₁, B₁, C₁ nuqtalarni qaray- lik. Bu nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotmasin. U holda AABCv^AA₁B₁C₁ lar mos tomonlarining uzunliklari teng (yuqorida isbot qilingan teoremaga ko‘ra). Uch­burchaklar tengligining uchinchi alomatiga ko‘ra: AABC = AA₁B₁C₁. Bundan uch- burchaklarning burchaklari ham teng ekanligi kelib chiqadi

.

2. 
   t eorema.
   

Markaziy simmetriyada kesmalar kesmalarga, nurlar nurlarga, to‘g‘ri chiziqlar to‘g‘ri chiziqlarga o‘tadi.
Isbot. A, B va C nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda, ya’ni C nuqta A va B nuq­talar orasida yotsin. U holda AC + CB = AB. Markaziy simmetrik A_b B₁ va C₁ nuq­talar uchun A₁C₁ + C₁B₁ = A₁B₁ tenglik bajariladi. Shunday qilib, C₁ nuqta A₁B₁ to‘g‘ri chiziqda A₁ va B₁ nuqtalar orasida yotadi. Demak, AB kesma A₁B₁ kesmaga o‘tadi (122- a rasm). O — simmetriya markazi.
Xuddi shunga o‘xshash, AB nur A₁B₁ nurga, AB to‘g‘ri chiziq to‘laligicha A₁B₁ to‘g‘ri chiziqqa o‘tishi isbotlanadi.
Masala. Markaziy simmetriya to‘g‘ri chiziqni unga parallel to‘g‘ri chi­ziqqa yoki o‘zini-o‘ziga o‘tkazishini isbotlang.
Isbot. Agar simmetriya markazi berilgan to‘g‘ri chiziqda yotsa, u holda bu to‘g‘ri chiziq markaziy simmetriyada o‘ziga-o‘zi o‘tishi ravshan.
O markaz a to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmasin (122- b rasm). a to‘g‘ri chiziqqa simmetrik a₁ to‘g‘ri chiziqning a to‘g‘ri chiziqqa parallel ekanini isbot­laymiz.
a to‘g‘ri chiziqdagi biror A va B nuqtalarni ko‘rib chiqamiz. Ular O markaz- ga nisbatan a₁ to‘g‘ri chiziqdagi biror A₁ va B₁ nuqtalarga o‘tadi. Bunda hosil bo‘lgan OAB va OA₁B₁ uchburchaklarda markaziy simmetriya ta’rifiga ko‘ra OA = OA₁ va OB = OB₁, vertikal burchaklar bo‘lgani uchun ZAOB =ZA₁OB₁. De­mak, uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko‘ra: AOAB= AOA₁B₁. Bun­dan ZOAB =ZOA₁B₁ kelib chiqadi. Bu burchaklar a va a₁ to‘g‘ri chiziqlar ham- da AA₁ kesuvchidan hosil bo‘lgan ichki almashinuvchi burchaklardir. Demak, a va a₁ to‘g‘ri chiziqlar parallel (ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatiga ko‘ra).