1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

Ta’rif. Trapetsiya yon tomonlari o‘rtasini tutashtiruvchi kesma trapetsiya- ning o‘rta chizig‘i deyiladi.
Bizga ABCD trapetsiya berilgan bo‘lib, unda AD va BC — trapetsiya asoslari; AB va DC uning yon tomonlari, E va F nuqtalar yon tomonlarining o‘rtalari bo‘lsin (66- rasm). Bunda EF — o‘rta chiziq bo‘ladi.
^Teorema.
Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i uning asoslariga parallel va uning uzunligi trapetsiya asoslari uzunliklari yig‘indisining yarmiga teng.
Isbot. 1- usul. EF — ABCD trapetsiyaning o‘rta chizig‘i bo‘lsin (AD|| BC). BF to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz va uning AD to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasini P deb belgilaymiz (67- rasm). Uchburchaklar tengligining ikkinchi alomatiga ko‘- ra, BCF va PDF uchburchaklar teng (CF = DF — shartga ko‘ra, Z1 = Z2 — ver- tikal burchaklar va Z3 = Z4 — ichki almashinuvchi burchaklar bo‘lgani uchun). Bu uchburchaklarning tengligidan BF = PF va BC = DP kelib chiqadi va, demak, EF — ABP uchburchakning o‘rta chizig‘i bo‘ladi. Uchburchakning o‘rta chizig‘i
haqidagi teoremaga asosan: EF || AP va EF = 2 AP larga ega bo‘lamiz. AD || BC bo‘lgani sababli, EF har ikkala asosga parallel bo‘ladi va bundan tashqari,
EF = 2 AP = 2 (AD + DP ) = 2 (AD + BC).
Demak, EF || AD || BC va EF = 2 (AD + BC).

2. 
   usul. Teoremani isbot qilish uchun trapetsiyaning kichik asosi uchidan ikkinchi yon tomonga parallel BN to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz (68- rasm). Bunda trapetsiya parallelogramm va uchburchakka ajraladi. BCDN parallelogrammda qarama-qarshi tomonlar bo‘lgani uchun BC = ND va CD = BN. Shuningdek, CF = BP (BCFP parallelogrammning qarama-qarshi tomoni) va FD = PN (PFDN parallelogrammning qarama-qarshi tomoni). Bundan topamiz: BP = PN (CF = FD — yasashga ko‘ra). A ABN da BE = EA (shartga ko‘ra) va BP = PN (isbotga ko‘ra), va demak, ta’rifga ko‘ra, EP o‘rta chiziq bo‘ladi. Bundan EP || AN kelib chiqadi.
   

U chburchak o‘rta chizig‘i xossasiga ko‘ra, EP = 2 AN .

Ammo, AN = AD - ND = AD - BC.




Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i EF = EP + PF
y oki EF = 2 AN + PF, bu yerda AN = AD - BC
va PF = BC ekanini nazarga olsak,
j-ij-, AD - BC AD + BC EF = 2 + BC = 2 kelib chiqadi.
Demak, EF = ^AD+^BC ekan.
N at ij a. Trapetsiyaning yon tomoni o‘rtasidan o‘tuvchi va asoslariga parallel to‘g‘ri chiziq ikkinchi yon tomonini teng ikkiga bo‘ladi. Shuni isbotlang.
Isbot. ABCD — berilgan trapetsiya (AD || BC), AE = EB va EF || AD bo‘lsin (67-rasmga q.). Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i E nuqta orqali o‘tadi va AD ga parallel bo‘lgani sababli, o‘rta chiziq (parallellik aksiomasiga asosan) EF bilan ustma-ust tushadi va, demak, EF to‘g‘ri chiziq ikkinchi yon tomonini teng ikkiga bo‘ladi. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
M asala. Trapetsiya diagonallarining o‘rtalarini tutashtiruvchi kesma asoslariga parallel va asoslar ayir- masining yarmiga tengligini isbotlang.
Isbot. ABCD — berilgan trapetsiya, AD uning katta asosi bo‘lsin (69- rasm). AB tomonning o‘rtasi E orqali asoslarga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz.
U diagonallarni P va T nuqtalarda kesib o‘tadi, bu nuqtalar diagonallarning o‘rtalaridir. ET kesma ABD uchburchakning o‘rta chizig‘i, EP esa ABC uchbur­chakning o‘rta chizig‘i. PT kesma bu o‘rta chiziqlar- ning ayirmasiga teng:
P
- BC).
T = ET - EP = I AD -1 BC = 2 (AD
Shuni isbotlash talab qilingan edi.
Savol, masala va topshiriqlar

128. 
     1) Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i deb nimaga aytiladi?
     

2) Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i haqidagi teoremani ayting va undagi belgilashlarni yozing.

129. 
     Trapetsiyaning asoslari: 1) 11 sm va 17 sm; 2) 4,5 dm va 8,2 dm; 3) 9 sm va 21 sm ga teng. Uning o‘rta chizig‘ining uzunligi qancha?
     
130. 
     Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i 16 sm ga, asoslaridan biri esa 12 sm ga teng. Trapetsiyaning ikkinchi asosi nimaga teng?
     
131. 
     Trapetsiyaning perimetri 40 sm ga, parallel bo‘lmagan tomonlarining yig‘indisi esa 16 sm ga teng. Shu trapetsiyaning o‘rta chizig‘ini toping.
     
132. 
     Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i 30 sm ga, kichik asosi esa 20 sm ga teng. Shu trapetsiyaning katta asosini toping.
     
133. 
     
134. 
     ABCD trapetsiyaning yon tomoni AB ga parallel CP to‘g‘ri chiziq AD asosni:
     

1. 
   A P = 10 sm va PD = 8 smli;
   
2. 
   AP = 5 sm va PD = 7 sm li kesmalarga ajratadi. Trapetsiyaning o‘rta chizig‘ini toping.
   

135. 
     EF — ABCD trapetsiyaning o‘rta chi- zig‘i. F nuqta orqali AB tomonga paral­lel va AD tomonni P nuqtada kesadi- gan to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan (70- rasm).
     

AEFP parallelogramm ekanini isbotlang.

136. 
     Teng yonli trapetsiyaning diagonallari o‘tkir burchagini teng ikkiga bo‘ladi. Trapetsiyaning perimetri 66 sm, asoslarining nisbati 2: 5 kabi. Trapetsiyaning o‘rta chizig‘ini toping.
     
137. 
     Trapetsiyaning diagonallari uning o‘rta chizig‘ini har biri 6 sm li kes- malarga bo‘ladi. Shu trapetsiya asoslarini toping.
     
138. 
     Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i uning balandligini teng ikkiga bo‘ladi. Shuni isbot qiling.
     
139. 
     ABCD trapetsiyaning tomonlari ma’lum: AB = 4 sm, BC = 6 sm, CD = 5 sm, AD = 10 sm. Agar EF — trapetsiyaning o‘rta chizig‘i bo‘lsa, AEFD trapetsiyaning tomonlari nimaga teng?
     
140. 
     Trapetsiyaning katta asosi kichik asosidan 3 marta katta va uning o‘rta chizig‘i 20 sm ga teng. Trapetsiyaning asoslarini toping.
     
141. 
     Trapetsiyaning katta asosi 16 sm ga teng, kichik asosi esa o‘rta chiziqdan 6 sm qisqa. Trapetsiyaning kichik asosi va o‘rta chizig‘ini toping.
     
142. 
     Trapetsiyaning diagonallari uning o‘rta chizig‘ini 5 sm, 4 sm va 7 sm li kesmalarga bo‘ladi. Shu trapetsiya asoslarini toping (69- rasmga q.). Yechilishi. ABC uchburchakda EP kesma ... bo‘ladi. Demak, BC =... sm (... xossasiga ko‘ra). ACD uchburchakda PF kesma ... bo‘ladi. PF =... + ... = ... sm + ... sm = ... sm. Shunga ko‘ra, AD = ... sm. Javob: ....
     

1. 
   § ga (to‘rtburchaklarga) doir qo‘shimcha mashqlar
   

143. 
     Qavariq ABCD to‘rtburchakda: AB = CD, ZB = 70°, ZBCA = 60°, ZACD = 50°. BC = AD ekanini isbot qiling.
     
144. 
     Parallelogramm tomonlarining uzunliklari 4 sm va 6 sm ga teng. Shu parallelogramm o‘tkir burchagining bissektrisasi katta tomonni qanday kesmalarga bo‘ladi?
     
145. 
     ABCD parallelogrammning BC va AD tomonlarida E va F nuqtalar shunday olinganki, unda BE = DF. AECF to‘rtburchak parallelogramm ekanini isbotlang (71- rasm). Bo‘sh joylarga mos javoblarni yozing.
     
146. 
     

I sbot. Shartga ko‘ra, ABCD parallelogramm bo‘lgani uchun uning BC va AD qarama-qarshi tomonlari ... va ..., ya’ni ... || ... va ... =... . EC = ... - ..., AF = ... - ... va BE = DF ekanligidan, EC = ... bo‘ladi.
Shunday qilib, AECF to‘rtburchakda ikkita qarama-qarshi tomonlar ... va ... (... ||..., ... = ...), demak, AECF — ... .

147. 
     O‘tkir burchagi A bo‘lgan ABCD parallelogramm berilgan. B uchidan AD tomonga BK perpendikular o‘tkazilgan, AK = BK. C va D burchak- larni toping.
     
148. 
     1) ABCD — to‘g‘ri to‘rtburchak. BAC va BDC burchaklarning bis- sektrisalari 45° li burchak ostida kesishadi. ABCD — kvadrat ekanini isbotlang.
     

2) Agar to‘rtburchakning diagonallari o‘zaro teng bo‘lib, to‘rtburchak- ning burchaklarini teng ikkiga bo‘lsa, bunday to‘rtburchak kvadrat bo‘ladi. Shuni isbotlang.

149. 
     1) Berilgan: ABCD — kvadrat, AE = CF (72-rasm).
     

Isbot qilish kerak: BEDF — romb ekanligini.

2.