1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

180°n - 180°(n - 2) = 180°n - 180°n + 360° = 360°
ga teng bo‘ladi.

1. 
   masala. Qavariqko‘pburchakningichki burchaklarining va bitta tashqi burchagining yig‘indisi 2115° ga teng. Shu ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
   

Yechilishi. Qavariq ko‘pburchakning ichki burchaklari yig‘indisi 180° ga karrali, shuning uchun 2115° ni quyidagicha yozib olamiz:
2115° = 11-180° + 135°.
Demak, ushbu qavariq ko‘pburchakning ichki burchaklari yig‘indisi

11. 
    • 180° = 1980° ga teng, 135° esa biror ichki burchagiga mos tashqi burchakdir. 180°(n - 2) = 11 • 180° tenglamani yechib, quyidagilarni topamiz:
    

n - 2 = 11, ya’ni n = 13.
Javob: 13 ta.

2. 
   masala. Tomonlari teng bo‘lgan (muntazam) n burchakning har bir ichki burchagi (a_n) nimaga teng?
   

Yechilishi. Bizga ma’lumki, ixtiyoriy qavariq n burchakning burchaklari yig‘indisi 180°(n — 2) ga teng. Muntazam ko‘pburchakning burchaklari teng bo‘l- gani uchun ularning har biri quyidagiga teng:
180^o (n-2)
a n = .
ⁿn

3. 
   masala. Tomonlari teng bo‘lgan (muntazam) n burchakning har bir tashqi burchagi (P_n) nimaga teng?
   

Yechilishi. Bizga ma’lumki, ixtiyoriy qavariq n burchakning har bir uchidan bittadan olingan tashqi burchaklarining yig‘indisi 360° ga teng.
Shunday qilib, tomonlari teng bo‘lgan n burchakning har bir tashqi burchagi quyidagiga teng:
W Qavariq n burchakning har bir uchidan bittadan olingan tashqi bur-
^ chaklarining yig‘indisi ko‘pburchak tomonlari soniga bog‘liq emas.


Savol, masala va topshiriqlar

19. 
    1) Ko‘pburchakning berilgan uchidagi ichki burchagi deb qanday burchakka aytiladi? Tashqi burchagi deb-chi?
    

2. 
   Qavariq n burchakning ichki burchaklari yig‘indisi nimaga teng? Har bir uchidan bittadan olingan tashqi burchaklarining yig‘indisi-chi?
   

20. 
    ABCD to‘rtburchakning eng kichik burchagi 40° ga teng. Qolgan bur­chaklari 4, 5 va 7 sonlariga proporsional. Shu burchaklarni toping. Yechilishi. ZA = 40° — eng kichik burchak bo‘lsin. U holda Z B + Z C + Z D = 360° - ...° = ...° bo‘ladi. Z B = 4x desak, u holda Z C = ...x va Z D = ...x bo‘ladi. Tenglama tuzamiz: ...x + ...x + ...x = ...°. Endi hosil bo‘lgan tenglamani yechamiz: ...x = ...°, x = ... °. Va nihoyat, izlanayotgan burchaklarni topamiz:
    

Z B = 4-...° = ...°; Z C = 5-...° = ...°; Z D = 7-...° = ...°.
Javob: Z B = ...°, Z C = ...°, Z D = ...°.

21. 
    Qavariq to‘rtburchakning burchaklari 1, 2, 3 va 4 sonlariga proporsio­nal. Shu burchaklarni toping.
    
22. 
    1) O‘nikkiburchakning; 2) o‘ttizburchakning; 3) ellikburchakning;
    

3. 
   to‘qsonburchakning burchaklari yig‘indisini toping.
   

Namuna. 1) a₁₃ = 180°-(13 - 2) = ...°-... = ...°.

23. 
    Ko‘pburchak burchaklarining yig‘indisi: 1) 1080° ga; 2) 1620° ga;
    

2. 
   3960° ga teng. Ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
   

24. 
    a) Har bir ichki burchagi: 1) 144° ga; 2) 150° ga; 3) 170° ga; 4) 171° ga teng bo‘lgan qavariq ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
    

b) Tashqi burchagining har biri: 1) 36° ga; 2) 24° ga; 3) 60° ga; 4) 15° ga teng bo‘lgan qavariq ko‘pburchakning nechta tomoni bor?

25. 
    Ichki burchaklar yig‘indisi uning har bir uchidan bittadan olingan tashqi burchaklari yig‘indisidan 6 marta katta bo‘lgan ko‘pburchakning tomoni nechta?
    
26. 
    Qanday qavariq n burchakda uning hamma burchaklari: 1) o‘tmas;
    

2. 
   t o‘g‘ri; 3) o‘tkir bo‘lishi mumkin?
   

27. 
    Ixtiyoriy beshburchakli yulduzcha o‘tkir bur­chaklarining yig‘indisi nimaga teng (25- rasm)?
    
28. 
    Ko‘pburchak ichki burchaklarining va bitta tashqi burchagining yig‘indisi 1000° ga teng.
    

Shu ko‘pburchakning tomonlari soni nechta?

29. 
    1) O‘nuchburchakning; 2) o‘nburchakning;
    

2. 
   yigirmaburchakning; 4) qirqburchakning burchaklari yig‘indisini toping.
   

30. 
    Tashqi burchagining har biri: 1) 10° ga; 2) 12° ga; 3) 30° ga; 4) 45° ga teng bo‘lgan qavariq ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
    
31. 
    

1. Parallelogramm.



Ta’rif. Qarama-qarshi tomonlari o‘zaro parallel bo‘lgan to‘rtburchak parallelogramm deb ataladi.
⁴ '
Agar ABCD parallelogramm bo‘lsa, AB || DC va AD || BC bo‘ladi (26- rasm).
Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlariga perpendikular bo‘lgan kes­malar parallelogrammning balandliklari deyiladi. Parallelogrammning, umuman aytganda, bir-biridan farq qiladigan ikkita balandligi bo‘ladi. Masalan, 27- rasm­da BP va BF — balandliklardir.

2. 
   Parallelogrammning xossalari.
   

1. 
   teorema. (1-xossa.) Parallelogrammning diagonali uni ikkita teng uchburchakka bo‘ladi.
   

Isbot. ABCD parallelogramm berilgan bo‘lsin, unda AB|| CD va BC||AD. Uning AC diagonalini o‘tkazamiz (28- rasm). Bunda ABCD parallelogramm ADC va CBA uchburchaklarga ajraladi. A ADC = Д CBA ekanini isbotlaymiz.
B u uchburchaklarda AC — umumiy tomon va unga yopishgan mos burchak­lar teng, ya’ni Z1 = Z3 (AB va DC parallel to‘g‘ri chiziqlar hamda ularning AC kesuvchi bilan kesishishlaridan hosil bo‘lgan ichki almashinuvchi burchaklar bo‘lgani uchun) va Z2 = Z4 (AD va BC parallel to‘g‘ri chiziqlar hamda ularning AC kesuvchi bilan kesishishlaridan hosil bo‘lgan ichki almashinuvchi burchaklar bo‘l- gani uchun). Uchburchaklar tengligining ikkinchi alomatiga ko‘ra: A ADC = A CBA.


Bu teoremadan ushbu natijalar kelib chiqadi:

1. 
   n a t i j a. Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng.
   
2. 
   n a t i j a. Parallelogrammning qarama-qarshi burchaklari teng.
   

Natijalarning to‘g‘ri ekanini isbotlashni o‘zingizga havola qilamiz.

2. 
   teorema. (2-xossa.) Parallelogrammning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi.
   

I sbot. ABCD — berilgan parallelo­gramm va O — AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin (29- rasm).
AO = OC va DO = OB ekanini isbot qi­lamiz.
Uchburchaklar tengligining ikkinchi alo- matiga ko‘ra: AAOD = A COB. Chunki bu uchburchaklarda AD = BC (parallelogramm­ning qarama-qarshi tomonlari bo‘lgani uchun), Z1 = Z2 va Z3 = Z4 (AD va BC parallel to‘g‘ri chiziqlarning, mos ravishda, AC va BD kesuvchilar bilan kesishishlaridan hosil bo‘lgan ichki almashi­nuvchi burchaklar bo‘lgani uchun). Shuning uchun, AO = OC va DO = OB.

3. 
   teorema. (3-xossa.) Parallelogrammning bir tomoniga yopishgan burchaklari yig‘indisi 180° ga teng.
   

Isbot. Parallelogrammning bir tomoniga yopishgan burchaklar ichki bir tomonli burchaklar bo‘ladi. Shuning uchun ularning yig‘indisi 180° ga teng.

1. 
   masala. Parallelogramm burchaklaridan ikkitasining yig‘indisi 172° ga teng. Uning burchaklarini toping.
   

Yechilishi. Parallelogrammning qo‘shni burchaklari yig‘indisi 180° ga teng bo‘lgani uchun berilgan burchaklar qo‘shni burchaklar bo‘la olmaydi va, demak, ular qarama-qarshi burchaklardir. Parallelogrammning qarama-qarshi burchaklari teng bo‘lganligidan, bizning holda ularning har biri 172°: 2 = 86° ga teng bo‘ladi. Parallelogrammning qolgan ikki burchagi 180° - 86° = 94° dan bo‘ladi.
Javob: 86°, 94°, 86°, 94°.

2. 
   masala. Parallelogrammning ikki tomoni 5 : 7 kabi nisbatda, perimetri esa 4,8 sm ga teng. Parallelogrammning tomonlarini toping.
   

Yechilishi. Parallelogramm tomonlarining umumiy o‘lchovi x bo‘lsin. U holda tomonlardan biri 5x sm, ikkinchisi esa 7x sm bo‘ladi. Shartga ko‘ra: 2(5x + 7x) = 4,8. Bundan 12x = 2,4, ya’ni x = 0,2. U holda birinchi tomon 5^0,2 = 1 (sm) ga, ikkinchi tomoni esa 7^ 0,2 = 1,4 (sm) ga teng bo‘ladi.