1. 1Differensial tenglamalar haqida boshlangich tushunchalar

II.bob. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemalari.

2.Yuqori tartibli yagona differensial tenglamaga keltirish
Differensial tenglamalar sistemasining maxsus ko`rinishi, chiziqli sistemalarni qarash bilan cheklanamiz.

Ikki noma`lum y₁(x), y₂(x) funksiyalar holi uchun chiziqli sistema

dy₁/dx = a₁₁·y₁ + a₁₂·y₂

dy₂/dx = a₂₁·y₁ + a₂₂·y₂ (5)

ko`rinishga ega bo`lib, umuman olganda, α_ij koeffitsiyentlar erkli o`zgaruvchi x ning uzluksiz funksiyalaridir.

(5) sistemani integrallash usullaridan biri, bir noma`lumli ikkinchi darajali differensial tenglamaga keltirishdir. (5) sistemaning birinchi tenglamasi ikkala qismini x bo`yicha differensiallaymiz,

tenglamada dy₁/dx, dy₂/dx hosilalar sistemadagi ifodasi bilan almashtirilganda,

tenglama o`ng qismida y₁ va y₂ qatnashgan hadlar guruhlanganda

(6)
ko`rinishni oladi, bu yerda β₁ va β₂ koeffitsiyentlar α_ij koeffitsiyentlar va ularning hosilaiari orqali aniq va ravshan ifodalanadi.

(6) tenglamani (5) sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda qarab,

(7)

sistemani olamiz.

Erkli o`zgaruvchi x ning qaralayolgan sohasida muno-sabat o`rinli bo`lsa, (7) sistemani у<sub>1</sub> va y<sub>2</sub> ga nisbatan yechish, ya`ni

va lar orqali ifodalash mumkin. Natijada,
(8)

(9)

tenglamalarga ega bo`lamiz. (8) tenglama yagona y<sub>1</sub>(x) noma`lum funk-siyali, ikkinchi tartibli chiziqli tenglamadir. Agar dastlabki (5) sistemada α_ij koeffitsiyentlar o`zgarmas bo`lsa, (8) tenglama ham o`zgarmas koef-fitsiyentli bo`lib, ushbu tenglamani yuqorida ko`rilgan qulay usulda yechish mumkin.

Misol. Sistemani yeching.

Birinchi tenglamani ikkala qismini differensiallaymiz, natijada

sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda

ko`rinishni oladi.

Oxirgi sistemani y₁ va y₂ larga nisbatan yechamiz:

Natijada, noma`lum y₁(x) funksiyaga nisbatan

tenglama hosil boladi. Ushbu tenglamani ma`lum usulda yechamiz va

y₁=(c1+c₂-x)·e^x

funksiyani olamiz. Oxirgi sistema ikkinchi tenglamasi yordamida

y₂=-1/2·(2c₁+c₂+2c₂x)·e^x

yechim ham kelib chiqadi.

Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:

, , ,
Yuqoridagi almashtirishlar yordamida, (5) sistemani ixcham

(10)
matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin.)

Masalan, quyidagi

sistemaning matritsa ko`rinishi

3. Bernulli differensial tenglamasi va uning tadbiqlari.

1-ta’rif. Ushbu

(2.1)

Ko’rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi, P(x) va Q(x) lar biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar, -biror o’zgarmas haqiqiy son Ravshanki agar bo’lsa, (2.1) tenglamadan

birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi,bu tenglamani I-bobda o’rgangan edik.

Agar bo’lsa, (2.1) tenglamadan

yoki

tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadan iboratdir.

Demak, (2.1) differensial tenglamasida bo’lganda bizga ma’lum differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Endi deb faraz qilamiz.

1-teorema. Agar P(x), Q(x) funksiyalar Ix oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa u holda sohaning ixtiyoriy olingan (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) tenglamaning Ix oraliqda aniqlangan bitta integral chizig’i o’tadi.

Isboti. (2.1) tenglamadan

va bo’lgani uchun bu funksiya D sohada uzluksiz bo’ladi.

Demak, Koshi teoremasiga ko’ra D sohaning ixtiyoriy (x₀;y₀) nuqtasidan (2.1) differensial tenglamaning bitta integral chizig’i o’tadi.

Agar bo’lsa, bo’lganda Bernulli differensial tenglamasining yechimi bo’ladi.Bu xususiy yechimdir.Ammo bo’lganda funksiya y=0 da uzilishga ega va nuqtada yechimning yagonaligi buzulishi mumkin. Ammo bo’lsa, funksiya maxsus yechim bo’ladi ya’ni, ning har bir nuqtasida orqali kamida bitta (ko’rilayotgan holda birdan ortiq ) integral chiziq o’tadi.Buni ko’rsatish uchun avval (1) ni da birinchi tartibli chiziqli tenglamaga keltirib, kvadraturalarda integrallash mumkinligini ko’rsatamiz. deylik. (2.1) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lamiz.

(2.2)

va

, (2.3)

ko’rinishda almashtirishni bajaramiz. (2.3) ni x ga nisbatan differensiallaymiz:

yoki

(2.4)

(2.3) va (2.4) ga asosan (2.2) ning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

, yoki

(2.5)

(2.5) tenglama esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iborat.

Shuning uchun buning umumiy yechimi (integrali) quyidagicha bo’ladi.

(2.6)

Endi z dan y ga (2.3) tenglikdan foydalanib qaytsak, bu holda (2.1) Bernulli differensial tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.

(2.7)

(2.6) tenglikni

z=CA(x)+B(x)

ko’rinishda yozib olaylik, bu yerda A(x), B(x) lar Jx oraliqda uzluksiz funksiyalar. U holda (2.1) ning umumiy yechimi:

agar x=x₀, y=y₀=0 va

bo’lsa, bu formula yordamida ushbu tenglamadan C ning yagona qiymatini topa olamiz, ya’ni

.

Shunday qilib, (x₀;0) nuqtadan

Integral chiziq o’tadi.

ravshanki, bo’lganda (2.1) tenglama

yechimga ega. Bu yechim ham (x₀;0) nuqtadan o’tadigan integral chiziqni ifodalaydi. Demak, Bernulli differensial tenglamasi kvadraturalarda integrallanadi;

2) Benulli differensial tenglamasi

bo’lganda maxsus yechimga ega.

Misol. Bernulli tenglamasini yechishni qaraymiz.

Yechilishi: Misoldan: P(x)=a=const, Q(x)=x, ekanligi ma’lum. Berilgan tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lamiz:

endi eb faraz qilamiz, bu holda , yoki

demak,

yoki bu esa z ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadan iboratdir, bu yerda

Chiziqli tenglaqmaning umumiy integrali uchun chiqarilgan formulaga ko’ra (I-bobdagi (1.8) formula ):

yoki

Qavs ichidagi integralni bo’laklab integrallaymiz:

bunga asosan esa

bo’ladi, yoki bo’lganligi uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali bunday bo’ladi:

shuningdek, yechim, maxsus yechim ekanligini ham eslatib o’tamiz.

Xulosa.
Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.

Bernulli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi. Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi. Bernulli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.

A D A B I YO T L A R:

1. 
   A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob. T. «O’qituvchi», 1974
   

2. 
   L.E.Elsgolts. Differensialnie uravneniya i variatsionnoe ischislenie. M. ,»Nauka» , 1969
   

3.L.S.Pontryagin. Differentsialnie uravneniya i ix prilojeniya. M., Nauka , 1965

4. M.S. Salohitdinov, O’.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. «Uzbekiston» , 1994
5. V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to’plami. T. «O’qituvchi», 1977