1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол. тенгламани ечинг.
Ечими. Кўриш мумкинки, тенгламани га кўпайти­рилса, чап томонида тўлиқ дифференциал ҳосил бўлади. Ҳақиқатан ҳам га кўпайтириб,

тенгликни оламиз, буни интеграллаб ечимини топамиз.
6. Албатта, аксарият кўп ҳолларда интегралловчи кўпайтувчи юқоридаги мисолдагидек осон топилавермайди. Умумий ҳолда интегралловчи кўпайтувчини топиш учун
(10)
хусусий ҳосилали дифференциал тенгламанинг камида битта нолдан фарқли хусусий ечимини топиш керак. Агар биз (10) тенгламани ёйиб, қулай ҳолга келтирсак,
(11)
тенгламани оламиз. Умумий ҳолда (11) хусусий ҳосилали дифференциал тенгламани ечиш берилган дифференциал тенгламани ечишга қараганда қийинроқ бўлади. Шунга қарамасдан, баъзи ҳолларда (11) тенгламани хусусий ечимини топиб олишга қийинчиликсиз эришиш мумкин.
Ундан ташқари, агар (11) тенгламада функцияни фақат битта аргументининг функцияси деб қаралса, (масалан,

ва ҳоказо) уни қийинчиликсиз интеграллаш мумкин бўлади ва изланаётган кўринишдаги интегралловчи кўпайтувчи мавжуд бўлиши учун шарт олинади. Шундай қилиб, маълум кўринишдаги интег­рал­ловчи кўпайтувчини топиш мумкин бўлган тенгламалар синфи ажратилади.
Биз ҳозир (5) тенглама учун фақат y га боғлиқ бўлган интегралловчи кўпайтувчи мавжуд бўлишини таъминлайдиган шарт келтириб чиқарамиз. Шу ҳол учун (11) тенгламани ёзайлик

бундан



y нинг узлуксиз функция деб қараб, қуйидагини оламиз:
(12)
Демак, агар фақат y нинг функцияси бўлса, (5) тенглама учун фақат y га боғлиқ бўлган интегралловчи кўпайтувчи мавжуд экан ва y (12) кўринишда бўлар экан.
Худи шунингдек, агар фақат х нинг функцияси бўлса, (5) тенглама учун фақат х га боғлиқ бўлган интегралловчи кўпайтувчи мавжуд ва y
(13)
кўринишда бўлади.
Юқоридагидек мулоҳаза билан (5) тенглама учун

кўринишдаги интегралловчи кўпайтирувчилар мавжудлигини таъмин­лайдиган шартлар олиш мумкин.
Мисол. тенгламанинг кўринишдаги интегралловчи кўпайтирувчиси борми?
Ечими. деб белгилайлик. У ҳолда (11) тенглама бўлганда

кўринишда бўлади. Бу тенгламадан

ёки
(14)
Демак, кўринишдагиинтегралловчикўпайтувчимавжудбўлишиучун касрфақат нингфункциясибўлишикеракэкан. Шундай қилиб, бизнинг мисолимизда

бўлгани учун кўринишдаги интегралловчи кўпайтувчи мавжуд.

Берилган тенгламани га кўпайтириб, уни қуйидаги кўринишга келтирамиз:

Бу тўлиқ дифференциал тенгламани интеграллаб ечимини оламиз: