1-§. Variatsion hisobning asosiy masalasi. Birinchi variatsiyani tekshirish

III.Amaliy topshiriqlar.
1 – masala. Quyidagi funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblang.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. funksionalning ikkinchi variatsiyasini hisoblang.
Yechilishi: Funksionalning ikkinchi variatsiyasi
formula yordamida topiladi. Ikkinchi variatsiyani topish uchun integral ostidagi funksiя dan bo’yicha ikki marta xususiy hosila olamiz va bu hosilalar larga teng bo’ladi. Bundan keyin bo’yicha olingan xususiy hosiladan bo’yicha xususiy hosila olib, ga ega bo’lamiz. Endi integral ostidagi funksiyadan bo’yicha ikki marta xususiy hosila olib, ega bo’lamiz. Natijada berilgan funksionalning ikkinchi variatsiyasi qu’yidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
2 – masala. Quyidagi variatsion masalaning kuchsiz lokal ekstremalida Lejandr shartining bajarilishini ko’rsating.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 16.
17.
18.
19.
20.
21. masalaning joiz statsionar funksiyasida Lejandr shartining bajarilishini ko’rsating.
Yechilishi: Eyler tenglamasini tuzamiz: . Integral ostidagi funksiya dan va bo’yicha xususiy hosilalar olib, va larga ega bo’lamiz. funksiyadan x bo’yicha to’la hosila olib, ega bo’lamiz. Bu funksiyalarni yuqoridagi tenglamaga keltirib qo’yib,
yoki
Eyler tenglamasiga kelamiz. Bu tenglamaning ikkala tomonini x bo’yicha ikki marta integrallab, Eyler tenglamasining quyidagi:

umumiy yechimiga ega bo’lamiz. Endi yuqoridagi chegaraviy shartlardan foydalanib, va larni topamiz:

Demak, joiz statsionar funksiya ko’rinishda bo’ladi.
Endi funksiyadan bo’yicha xususiy hosila olib, ifodaga ega bo’lamiz. bo’lgani uchun kuchaytirilgan Lejandr sharti bajariladi (kuchsiz lokal minimum uchun).
3 – masala. Quyidagi variatsion masalaning joiz funksiyalar bo’ylab Yakobi tenglamasini tuzing.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. masalada joiz funksiyalar bo’ylab Yakobi tenglamasini tuzing.