1-§. Variatsion hisobning asosiy masalasi. Birinchi variatsiyani tekshirish

Variatsion hisob asosiy masalasining qo’yilishi.

Quyidagilar berilgan bo’lsin:
a) dagi biror ochiq to’plam (soha);
b) to’plamning ga proyeksiyasi;
v) to’plamning belgilangan nuqtalari,
g) uzluksiz funksiya.
fazoning
(1)
to’plamida aniqlangan
(2)
funksionalning ekstremumini topish masalasini qaraymiz. Bu masalaga variatsion hisobning asosiy masalasi deyiladi va u
(3)
ko’rinishda belgilanadi. (1) ko’rinishdagi to’plamga (3) masalaning joiz funksiyalari (chiziqlari) to’plami deyiladi. (3) masalada joiz chiziqlarning uchlari berilgan P₀ va P₁ nuqtalarda mahkamlangan, ya’ni qo’zg’olmasdir.
Variatsion hisobning asosiy masalasi - chegaralari qo’zg’olmas eng sodda variatsion masaladir.

2. 
   Variatsion hisob asosiy masalasi funksionalining birinchi variatsiyasi.
   

Funksionalning birinchi variatsiyasi ta’rifini berishdan oldin chiziqli funksional tushunchasini eslatib o’tamiz.
Agar biror chiziqli W fazoda aniqlangan J[u] funksional bir jinsli va additiv bo’lsa, ya’ni:
1) c-ixtiyoriy o’zgarmas;
2)
shartlar bajarilsa, J[u]-chiziqli funksional deyiladi. Masalan, agar p(x) va q(x) lar [x₀,x₁] kesmada uzluksiz funksiyalar bo’lsa,

tenglik bilan aniqlanuvchi J[y] funksional W=C¹[x₀,x₁] da chiziqli funksional bo’ladi.
1-ta’rif. Agar J[y] funksional W chiziqli normalangan fazoda berilgan bo’lsa,

ayirmaga J[y] funksionalning orttirmasi deyiladi.
2-ta’rif. Agar W chiziqli normalangan fazoda berilgan J[y] funksionalning orttirmasi uchun
(4)
yoyilma o’rinli bo’lib, bunda - ga nisbatan chiziqli funksional, esa da / munosabatni qanoatlantirsa , J[y] funksional nuqtada differensiallanuvchi, yoki birinchi variatsiyaga ega deyiladi.
(4) yoyilmaning bosh qismidan iborat L[y,h] ga esa, J[y] funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va u kabi belgilanadi: .
Keltirilgan ta’rif bo’yicha variatsiyaga ega funksionallarga adabiyotda Freshe ma’nosida (yoki kuchli ma’noda) differensiallanuvchi funksionallar ham deyiladi.
3-ta’rif. J[y] funksionalning nuqtada Lagranj bo’yicha birinchi variatsiyasi deb, funksiyaning nuqtadagi hosilasiga aytiladi:
.
Variatsion hisob asosiy masalasi uchun birinchi variatsiya quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

3.