1- topshiriq kosinuslar teoremasi

1- TOPSHIRIQ

1. 
   Kosinuslar teoremasi.
   

2. 
   Geometriya elementlari. Geometrik figuralar, ularning xossalari.
   

Boshlang’ich matematika dasturida geometrik material katta o’rinni oladi. Geometrik materialni o’rganishning asosiy maqsadi geometrik figuralar (nuqta, to’g’ri va egri chiziq, to’g’ri chiziq kesmasi, siniq chiziq, ko’pburc hak, aylana va doira) haqida ulaming elementlari haqida, figuralar va ulaming elementlari orasidagi munosabatlari haqida, ularning ba’zi xossalari haqidagi tasavvurlarning to’la tizimini tarkib toptirishdan iborat.
Geometrik figuralar haqidagi fazoviy tasavvurlar, geometrik figuralarni chizmachilik va o’lchash asboblari yordamida va bu asboblarning yordamisiz o’lchash va yasashlarning amaliy malakalarini (ko’zda chamalash, qo’lda chizish va hokazo) tarkib toptiriladi, o’quvchilarning nutq va fikrlashlari shu asosda rivojlantiriladi.¹
Chizg’ich yordamida ham, boshqa usullar bilan ham to’g’ri chiziq yasash mumkin. Masalan, qog’oz varog’ini buklash yo’li bilan to’g’ri chiziq hosil qilish mumkin, buklash chizig’i to’g’ri chiziq bo’ladi. Bunda bolalar diqqatin i shu faktga qaratish mumkinki, qog’oz varog’ini har xil bo’lib, to’g’ri chiziq tasviri hosil bo’ladi. Doskada to’g’ri chiziq vaziyatini o’zgartirish, ya’ni uni gorizontal, vertikal va qiya holda chizish ham muhimdir. Shuningdek, IV-sinflarda geometriya elementlarni o’rganish metodikasida ta’lim texnologiyasi, geometrik jihatdan mustaqil ishlash, geometrik o’yin elementlaridan foydalanish masalalari yetarli darajada o’rganilishi talab etilmoqda.
Umuman aytganda boshlang’ich sinflarda geometrik bilim berishda o’quvchilarning tasavvuri kengayadi, matematikani o’zlashtirishga bo’lgan ehtiyoji qondiriladi va pedagogik-psixologik hususiyatlari geometrik tushunchalarni o’zlashtirish jarayonida mustahkamlanadi.
Fazoviy munosabatlar haqida tasavvurlar hosil qilish va ularda boshlang’ich sinflarda geometriya elementlarini o’rganishda foydalanish geometrik tushunchalar mazmunini o’zlashtirishga imkon beradi, atrof muhitni butun rang-barangligi bilan xis qilishga olib keladi, real mavjud dunyo haqida bilimlardan asta-sekin abstrakt-geometrik dunyoga, fazoviy tafakkur rivojiga, o’quvchilarining umumiy rivojlanish darajasining yuksalishiga olib keladi. Shu bilan birga shunga e’tibor berish kerakki, bunda geometrik figuralar ustida amallar bajarish mumkin bo’lgan ob’ektlar ekanligini nazarda tutish va o’quvchilar tomonidan uning qanday qabul qilinishiga e’tibor berish kerak, hamda o’quvchilarini mantiqiy bog’lovchilar bilan tanishtirishni unutmaslik kerak.
Hozirgi. Bunday metodga misol bo’lib, “Matematika va uni qurish” deb ataluvchi boshlang’ich sinflarning o’quv rejalariga kiritilgan kurs xizmat qiladi. Bu kurs integratsiyasi g’oyasining ifodasi bo’lib, bu g’oyani amalga oshirish uchun ular boshlang’ich maktabning ikkita predmetini mualliflari tanlanadilar: matematika va mehnat. Bu metodika o’quvchilarni boshlang’ich matematika ta’limining asos bo’luvchi darajasini ta’minlaydi, mantiqiy fikrlash va fazoviy tasavvurlarni rivojlantiradi, ularning geometrik bilimlarini kengaytirish, bilan birga parallel holda bolalarning konstruktorlik (qurish) qobiliyatlarini o’stiradi. Bu integratsion metod “matematika va konstruksiyalash” metodining eng muhim hususiyatlaridan biri uning geometrik yo’nalishi bo’lib, u bolalarning geometrik tasavvurlarini rivojlantirish va boyitishni maqsad qilib olgani hamda o’quvchilarning grafik savodxonligini, konstruktorlik tafakkurini va konstruktorlik malakalarini rivojlantiruvchi baza yaratishdir. Geometrik figuralarni o’zlashtirish maqsadida qator amaliy topshirliqlar sistemasi tuziladiki, o’rganilayotgan geometrik figuralar modellarini tayyorlash va ularning asosiy xossalarini torish, o’rganilgan geometrik figuralami narsa va ob’ektlardan bolalami o’rab olgan atrof muhitdan va ulardan keyinchalik amaliy- konstruktorlik vazifalarini bajarishda foydalanish bo’lib, bu topshirliqlarning qiyinlik darajasi metod qo’llash davomida ortib boradi. Bunday xarakterdagi masalalarni yechishda sanoq cho’plardan, qog’oz karton varog’idan, plastilindan, yumshoq simdan va hokazolardan foydalaniladi.

2. 
   Geometrik figuralarni sirkul va chizg‘ich yordamida yasash bosqichlari
   

gar asboblarning xilma-xilligini nazarda tutgan holda, qurilish muammolarining kengroq to'plamini hal qilish mumkinligi tabiiy bo'lsa, unda, aksincha, asboblarga qo'yilgan cheklovlar ostida, hal qilinadigan masalalar sinfi torayadi. Italiyalik kashfiyotni yana diqqatga sazovor deb hisoblash kerak Mascheroni (1750-1800):sirkul va chizg'ich bilan bajariladigan barcha geometrik konstruktsiyalarni faqat bitta sirkul bilan bajarish mumkin. Albatta, shuni ta'kidlash kerakki, ikkita berilgan nuqta orqali o'lchagichsiz to'g'ri chiziq o'tkazishning iloji yo'q, shuning uchun bu asosiy konstruktsiya Mascheroni nazariyasi bilan qamrab olinmaydi. Buning o'rniga, agar chiziqning ikkita nuqtasi berilgan bo'lsa, berilgan deb taxmin qilish kerak. Lekin faqat bitta kompas yordamida shu tarzda aniqlangan ikkita toʻgʻri chiziqning kesishish nuqtasini yoki toʻgʻri chiziqning aylana bilan kesishgan nuqtasini topish mumkin.
Mascheroni qurilishining eng oddiy misoli, ehtimol, berilgan AB segmentini ikki barobarga oshirishdir. Yechim allaqachon 174-175 sahifalarda berilgan. Keyinchalik, 175-176-sahifalarda biz ushbu segmentni ikkiga bo'lish haqida bilib oldik. Endi markazi O bo'lgan AB aylana yoyining yarmini qanday bo'lish kerakligini ko'rib chiqamiz. Mana bu konstruktsiyaning tavsifi (47-rasm). AO radiusi bilan markazlari A va B boʻlgan ikkita yoy chizamiz. O nuqtadan bu yoylar ustiga shunday ikkita OP va OQ yoylarini yotqizamizki, OP = OQ = AB... Keyin yoyning markaz P va radiusi PB va markaz Q va radiusi QA bo‘lgan yoyning kesishish R nuqtasini topamiz. Nihoyat, OR segmentini radius sifatida olib, markaz P yoki Q bo'lgan yoyni AB yoyi bilan kesishmagacha - kesishish nuqtasini tasvirlaymiz va AB yoyining istalgan o'rta nuqtasidir. Isbot o'quvchiga mashq sifatida qoldiriladi.
Mascheroni asosiy fikrini sirkul va o'lchagich bilan bajarilgan har bir konstruktsiyani bitta kompas bilan qanday bajarish mumkinligini ko'rsatib, isbotlab bo'lmaydi: axir, son-sanoqsiz konstruktsiyalar mavjud. Ammo, agar biz quyidagi asosiy konstruktsiyalarning har biri bitta kompas bilan bajarilishi mumkinligini aniqlasak, xuddi shu maqsadga erishamiz:

1. 
   Agar uning markazi va radiusi ko'rsatilgan bo'lsa, doira chizing.
   
2. 
   Ikki doiraning kesishish nuqtalarini toping.
   
3. 
   Chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini toping.
   
4. 
   Ikki chiziqning kesishish nuqtasini toping.
   

Har qanday geometrik konstruktsiya (odatiy ma'noda, sirkul va o'lchagichni nazarda tutgan holda) ushbu elementar konstruktsiyalarning cheklangan ketma-ketligini bajarishdan iborat. Ulardan birinchi ikkitasini bitta kompas bilan amalga oshirish mumkinligi aniq. 3 va 4-sonli murakkabroq konstruktsiyalar oldingi paragrafda muhokama qilingan inversiya xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

3-konstruktsiyaga murojaat qilaylik: biz bu aylananing kesishish nuqtalarini shu A va B nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bilan topamiz. O nuqtadan tashqari, mos ravishda AO va BO ga teng markazlari A va B va radiusli yoylar chizamiz. , ular P nuqtada kesishadi. Keyin C aylanaga nisbatan P nuqtaga qarama-qarshi Q nuqtasini quramiz (174-betda tasvirlangan qurilishga qarang). Nihoyat, markazi Q va radiusi QO bo'lgan doira chizing (u, albatta, C bilan kesishadi): uning C aylana bo'ylab kesishgan X va X nuqtalari kerakli nuqtalar bo'ladi. Buni isbotlash uchun nuqtalarning har birini aniqlab olish kifoya. X va X" O va P dan bir xil masofada joylashgan (A va B nuqtalarida bo'lgani kabi, ularning o'xshash xususiyati darhol qurilishdan kelib chiqadi). Darhaqiqat, Q nuqtaga qarama-qarshi nuqta X va X nuqtalardan aylana radiusiga teng masofada joylashganligiga murojaat qilish kifoya (173-betga qarang). Shuni ta'kidlash kerakki, X, X" va O nuqtalardan o'tuvchi aylana C aylanaga nisbatan inversiyadagi teskari AB chiziqdir, chunki bu doira va AB chizig'i C bilan bir xil nuqtalarda kesishadi. (Inversiya paytida asos aylananing nuqtalari harakatsiz qoladi.) Agar AB chizig'i C markazidan o'tsagina ko'rsatilgan konstruktsiyani amalga oshirish mumkin emas. Ammo keyin kesishish nuqtalarini 178-betda o'rta nuqtalar sifatida tasvirlangan konstruktsiya yordamida topish mumkin. B 1 va B 2 nuqtalarda C bilan kesishuvchi markaz B bo'lgan ixtiyoriy aylana chizilganda olingan C yoylarining.

Doira chizish usuli, to'g'ri chiziqning teskarisi "ikki berilgan nuqtani bog'lab, darhol 4-masalani hal qiladigan konstruktsiyani beradi. Chiziqlar A, B va A, B nuqtalari bilan berilgan bo'lsin" (50-rasm) Chiz. ixtiyoriy C aylana va yuqoridagi usuldan foydalanib AB va A "B" to'g'ri chiziqlarga qarama-qarshi doiralar quramiz.Bu doiralar O nuqtada kesishadi va yana bir Y nuqtada Y nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan X nuqta kerakli kesishish nuqtasidir. : uni qanday qurish kerakligi yuqorida allaqachon tushuntirilgan edi.kerakli nuqta, bu Y nuqtaning bir vaqtning o'zida ikkala AB va A "B" to'g'rilariga tegishli nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan yagona nuqta ekanligi, shuning uchun X nuqtasi, qarama-qarshiligi aniq. Y ga, bir vaqtning o'zida AB va A "B" da yotishi kerak ...

Bu ikki konstruksiya Mascheroni konstruksiyalari o‘rtasidagi ekvivalentlik isbotini tugatadi, buning uchun faqat sirkul va sirkul va to‘g‘ri chiziqli oddiy geometrik konstruksiyalardan foydalanishga ruxsat beriladi.
Biz bu erda ko'rib chiqqan individual muammolarni hal qilishning nafisligi haqida qayg'urmadik, chunki bizning maqsadimiz Mascheroni konstruktsiyalarining ichki ma'nosini aniqlash edi. Ammo misol sifatida biz oddiy beshburchakning qurilishini ham ko'rsatamiz; aniqrog'i, biz muntazam chizilgan beshburchakning cho'qqilari bo'lib xizmat qila oladigan aylananing beshta nuqtasini topish haqida gapiramiz.
1928 yilda daniyalik matematik Elmslev Kopengagendagi kitob do'konida kitobning nusxasini topdi. Evklid Danicus 1672 yilda noma'lum muallif tomonidan nashr etilgan G. Morom. Sarlavha sahifasidan xulosa qilish mumkinki, bu Evklidning "Elementlar" versiyalaridan biri bo'lib, ehtimol tahririyat sharhi bilan jihozlangan. Ammo diqqat bilan o'rganib chiqqach, unda Mascheronidan ancha oldin topilgan Mascheroni muammosining to'liq yechimi borligi ma'lum bo'ldi.
Mashqlar. Quyida Mohr konstruksiyalarining tavsifi berilgan. Ular to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring. Nima uchun ular Mascheroni muammosini hal qiladi, deb bahslash mumkin?

Mascheroni natijalaridan ilhom olib, Jeykob Shtayner (1796-1863) faqat bitta o'lchagich yordamida bajarilishi mumkin bo'lgan konstruktsiyalarni o'rganishga harakat qildi. Albatta, o'lchagichning o'zi sizni berilgan raqamli maydon chegarasidan tashqariga olib chiqmaydi va shuning uchun barcha geometrik konstruktsiyalarni klassik ma'noda bajarish etarli emas.

2. 
   Prizma.
   

Turli yarim tekisliklarda yotuvchi va parallel ko’chirish bilan ustma – ust tushuvchi ikkita yassi ko’pburchakdan hamda bu ko’pburchaklarning mos nuqtalarini tutashtiruvchi hamma kesmalardan iborat bo’lgan ko’pyoq PRIZMA deyiladi.

• 
  Ko’pburchaklar prizmaning asoslari ularning mos nuqtalarini tutashtiruvchi kesmalar prizmaning yon qirralari deyiladi.
  
• 
  Prizmaning asoslari o’zaro tengdir.
  
• 
  Prizma asoslarining tekisliklari orasidagi masofa prizmaning balandligi deyiladi.
  
• 
  Prizmaning yoqiga tegishli bo’lmagan ikkita uchini tutashtiruvchi kesma prizmaning dioganali deyiladi.
  

• 
  Prizmaning asosi parallelogramm bo’lsa bunday prizma parallelepiped deyiladi.
  
• 
  Agar parallelepidning yon qirrasi asosiga perpendikulyar bo’lsa bunday parallelepiped to’g’ri parallelepiped deyiladi.