1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

Ta’rif. topologik fazoning qismi bo’lgan to’plam barcha limit nuqtalarini o’zida saqlasa, u holda to’plamga yopiq to’plam deyiladi.

Ta’rif. akslantirish topologik fazoni topologik fazoga akslantiruvchi biror akslantirish bo’lsin. akslantirish nuqtada uzluksiz deyiladi, agar nuqtaning istalgan atrofi uchun nuqtaning shunday atrofi topilib, munosabat o’rinli bo’lsa.

Ta’rif. to’plamlar sistemasi va to’plam uchun munosabat o’rinli bo’lsa, sistema to’plamni qoplaydi deyiladi.

topologik fazoni qism to’plami uchun bu to’plamni fazoning ochiq to’plamlaridan iborat istalgan qoplamasidan hamisha chekli qoplama ajratib olish mumkin bo’lsa, to’plam fazoni kompakt qism to’plami deyiladi.

Ta’rif. Agar topologik fazoda berilgan to’plamni kesishmaydigan 2 ta bo’sh bo’lmagan to’plamlar yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lmasa, u holda to’plamga bog’lamli to’plam deyiladi.

18-mashq.

18.1. to’plamda aniqlangan ixtiyoriy topologiyalar kesishmasi da aniqlangan topologiya bo’lishini isbotlang.

18.2. to’plamda aniqlangan topologiyalar birlashmasi da topologiya bo’lolmasligini ko’rsating. (Agar to’plam kamida ikkita nuqtadan iborat bo’lsa)

18.3. – haqiqiy sonlar to’plami bo’lib, unda odatdagi topologiya aniqlangan bo’lsin. Bu topologiya tartibli topologiya bilan ustma – ust tushishini isbotlang.

(Tartibli topologiya ochiq to’plamlar sistemasi sifatida va ko’rinishdagi to’plamlardan iborat topologiya)

18.4. to’plam topologik fazoda zich bo’lgan to’plam bo’lsin, u holda istalgan ochiq to’plam uchun munosabat o’rinli bo’lishini ko’rsating.

18.5. topologik fazo uchun istalgan elementga mos ravishda bu nuqtani atroflari oilasini orqali belgilaymiz, u holda quyidagi tasdiqlarni isbotlang.

1. 
   Agar bo’lsa, u holda ;
   
2. 
   Agar bo’lsa, u holda ;
   
3. 
   Agar va bo’lsa, u holda ;
   
4. 
   Agar bo’lsa, shunday element topilib, va istalgan uchun ( – o’zining istalgan nuqtasi uchun atrof bo’ladi).
   

18.6. 5 – misolda aniqlangan funksiya istalgan elementga biror oilani mos qo’ysin va 1), 2), 3) shartlarni qanoatlantirsin, u holda atroflar oilasi da aniqlangan biror topologiya bo’lishini ko’rsating.

18.7. Topologik fazo – fazo deyiladi, agar uning yagona nuqtaga ega ixtiyoriy qism to’plami yopiq to’plam bo’lsa.

Istalgan to’plam uchun shunday eng kichik topologiya mavjud bo’lib – fazo bo’lishini ko’rsating.

18.8. Agar to’plam cheksiz to’plam bo’lib, eng kichik topologiya bo’lsin. u holda – fazo bo’lishini ko’rsating.

18.9. – fazo bo’lsin, u holda bu fazoni istalgan qismini limit nuqtalari to’plami yopiq to’plam bo’lishini ko’rsating.

18.10. – bog’lamli topologik fazo bo’lib, uni bog’lamli qismi bo’lsin. Agar bo’lib, va lar ajratilgan to’plamlar bo’lsa, u holda to’plamni bog’lamli ekanini ko’rsating.

18.11. va topologik fazolar berilgan bo’lsin. akslantirish nuqtada uzluksiz deyiladi, agar nuqtani ixtiyoriy atrofi uchun nuqtaning shunday atrofi topilib, munosabat bajarilsa.

akslantirish uzluksiz bo’lishi uchun dan olingan ixtiyoriy ochiq to’plamning asli fazoning ochiq to’plamidan iborat bo’lishi zarur va yetarli ekanini isbotlang.

18.12. Topologik fazoni kompakt qism to’plami yopiq to’plam bo’lishini ko’rsating.

18.13. Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompakt to’plam bo’lishini ko’rsating.

18.14. topologik fazoning kompakt qismi bo’lgan to’plamni yopiq qism to’plami yana kompakt to’plam bo’ladimi?

18.15. 3 ta elementdan tashkil topgan fazoda topologiya quring.

18.16. Bog’lamli to’plamning yopilmasi bog’lamli to’plam bo’lishini ko’rsating.