1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

3-§. O’lchovli to’plamlar.

Tekislikdagi chegaralangan to’plam uchun tashqi o’lchov tushunchasini kiritamiz. to’plam chegaralangan bo’lgani uchun u biror (tomonlari va o’qlariga parallel) to’g’ri to’rtburchakning qism to’plamidan iborat bo’ladi (6 -rasm).

6-rasm.

E to’g’ri to’rtburchakdagi barcha (tomonlari va o’qlariga parallel) to’g’ri to’rtburchaklar sistemasini bilan belgilaymiz. sistema yarim halqa tashkil qiladi. Haqiqatan, har qanday to’g’ri to’rtburchaklar uchun ham to’g’ri to’rtburchak (agar ular kesishmasa, bo’sh to’plam) ekanligi ravshan, ya’ni . Endi to’g’ri to’rtburchaklar uchun bo’lsin. U holda to’g’ri to’rtburchakning ta’riflanishidan shunday to’g’ri to’rtburchaklar topiladiki, to’plam to’g’ri to’rtburchaklarning yig’indisidan iborat bo’ladi, ya’ni . Endi yarim halqada to’plam funksiyasini aniqlaymiz. Agar bo’lsa, deymiz. Agar (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) to’g’ri to’rtburchak bo’lsa, u holda bilan uning yuzasining son qiymatini belgilaymiz. Masalan,

bo’lsa, bo’ladi.

to’plam funksiyasini ba’zi xossalarini isbotsiz keltiramiz.

1⁰. uchun ;

2⁰. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.

yarim halqani o’zida saqlovchi minimal halqani bilan belgilaylik. bo’lgani uchun har qanday uchun shunday

(1)

to’rtburchaklar mavjudki, bo’ladi. Endi da to’plam funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz .

Bu o’lchov to’plamning (1) ko’rinishiga bog’liq emas. Faraz qilaylik soni chekli yoki sanoqli to’g’ri to’rtburchaklar sistemasi bo’lib, to’plamni qoplasin: . Ma’lumki, bunday to’g’ri to’rtburchaklar sistemasini cheksiz ko’p usul bilan tuzish mumkin. Shuning uchun yig’indi ham cheksiz ko’p qiymatga ega va har bir uchun bo’lganligi uchun bu yig’indi quyidan chegaralangan bo’ladi.