1- taʻrif ta sonning tartiblangan tizimiga oʻlchovli vektor

Yechish.
Skalyar koʻpaytma quyidagi xossalarga ega:
1)
2)
₃₎
4) ; ;
bu yerda , oʻlchovli vektorlar va ixtiyoriy son.
_4- ta’rif. Vektor komponentlari kvadratlari yigʻindisining kvadrat ildiziga teng boʻlgan songa oʻlchovli vektor uzunligi (moduli, normasi) deyiladi.
Vektor uzunligi quyidagi xossalarga ega:
1) ;
2) ;
3) (uchburchak tengsizligi)
bu yerda, oʻlchovli vektorlar va ixtiyoriy son.
3- misol. Quyidagi vektorlarning uzunliklarini toping:

Yechish.


5- ta’rif. Agar ikkita noldan farqli vektorlarning skalyar koʻpaytmasi nolga teng boʻlsa, u holda bunday vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
4- misol. parametrning qanday qiymatida quyidagi vektorlar ortogonal boʻladi:

Yechish. Bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasini hisoblaymiz
Masala shartiga koʻra,
arifmetik fazoda kiritilgan skalyar koʻpaytma xossalaridan foydalanib quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema (Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi). arifmetik fazodan olingan ixtiyoriy va vektorlar uchun

Isbot. Ixtiyoriy uchun

hosil boʻlgan kvadrat uchhad nomanfiy boʻlganligi sababli bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat boʻlmaydi. Bundan
yoki .
Bu teorema asosida arifmetik fazo vektorlari orasidagi burchak tushunchasini kiritamiz.
6- ta’rif. Ikkita oʻlchovli noldan farqli va vektorlar orasidagi burchak

formula bilan aniqlanadi.
Izoh: arifmetik fazodagi oʻlchovli vektorlar orasidagi burchak taʻrifining korrektligi yuqorida isbotlangan Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.
5- misol. vektorlar berilgan:
vektorni toping;
skalyar koʻpaytmani toping;
vektorlar orasidagi burchakni toping;
Koshi – Bunyakovskiy tengsizligini tekshiring.
Yechish.



** * * * * * *
Auditoriya topshiriqlari
Quyidagi vektorlar uchun Koshi–Bunyakovskiy tengsizligini tekshiring;