Vizualizatsiya tizimlarida tasvirni qayta ishlash usullarini takomillashtirish ishning umumiy xususiyatlari

VIZUALIZATSIYA TIZIMLARIDA TASVIRNI QAYTA ISHLASH USULLARINI TAKOMILLASHTIRISH
ISHNING UMUMIY XUSUSIYATLARI
Dissertatsiya mavzusining dolzarbligi
Tasvirni qayta ishlash usullari va algoritmlarining xilma-xilligi turli xil vazifalar, vizual axborot olish uchun texnik vositalar va ilovalar bilan bog'liq. Biroq, ularning ko'pchiligi qat'iy matematik asosga ega emas va ulardan foydalanish muayyan amaliy vazifa shartlari va tasvirlarning o'ziga xos xususiyatlariga asoslangan maqsadga muvofiqligi bilan belgilanadi.
Diagnostika axborot ob'ekti sifatida bnomedntsinskih tasvirlar o'ziga xosligi, birinchi navbatda, HH olish usullari bilan bog'liq, shuningdek, avtomatlashtirilgan tahlil va texnik ko'rish tizimlari farqli o'laroq, u taqdim etilgan ma'lumotlar asosida yakuniy qaror qabul mutaxassis tomonidan tasvir vizual nazorat qilish uchun zarur, deb aslida bilan. Shuning uchun, qayta ishlash usullarini tanlash tadqiqotchi tomonidan tasvirning ingl.
Tasvirni qayta ishlash va tahlil qilish protseduralarining har biri o'z tarkibida oldindan ishlov berish bosqichini o'z ichiga oladi, jumladan, yumshatilish, shovqinlarni filtrlash, aniqlik va kontrastni oshirish. Bundan tashqari, tasvirni oldindan qayta ishlash sensorning nochorligi, yorqinligi, kontrastini tuzatish, geometrik buzilishlarni bartaraf etish, qiziqish ob'ektlarini fondan filtrlashni o'z ichiga oladi. Ba'zi hollarda, bu bosqichda optikani taqsimlash, ob'ektning harakati natijasida tasvirning loyqaligi, sensordagi xatolar yoki tasvir signallarini uzatishda tasvirdagi buzilishlarni tuzatish amalga oshiriladi.
Tasvirni oldindan davolash bosqichining samaradorligi tasvirni qayta ishlashning keyingi bosqichlari, shu jumladan segmentatsiya, morfologik tahlil va tasvirni aniqlash natijalariga hal qiluvchi ta'sir ko'rsatadi. Bundan tashqari, tasvirni qayta ishlash jarayonida kerakli natijaga erishish uchun ushbu bosqichga qayta murojaat qilish mumkin.
J. F. Canny, W. K. Pratt, Prewitt J. M. S., Sobel 1 tomonidan tasvirni oldindan davolash usullari va vositalarini rivojlantirishga katta hissa qo'shdi., Kirche R. A., Roberts L. G., Robinson G. S., Gabor, Krasilnikov H. H., Miroshnkov M. M., Bakut P. A., Yankovskiy R. E., Sodiqov S. S., Yaroslavskiy L. P.. O'tish: Saytda Harakatlanish, Qidiruv. Egorova D., Kolesnik V. A, Sawfer va boshqalar.
Mahalliy semiton tasvirlarni qayta ishlash usullari bilan bog'liq holda, ko'plab tadqiqotchilar surma niqoblarini sintez qilish usullarini oqlash masalalari bilan shug'ullanishgan. Biroq, ularni tasniflash nazariyasi va usuli etarlicha ishlab chiqilmagan va o'rganilmagan. Bu zamonaviy grafik tizimlarda surma niqoblarini faqat sezgir foydalanuvchi sintezining mavjudligi bilan izohlanadi. Shu bilan birga, tasvirni oldindan qayta ishlash vazifalarining keng doirasi uchun surma maskalari asosida algoritmlarni qo'llash imkonini beradigan yondashuvni yaratish uchun surma maskalari nazariyasini ishlab chiqish dolzarb vazifadir.
Ushbu maqolada, semiton tasvirlarni oldindan davolash bosqichida ishlatiladigan filtrlarni sintez qilish va biomeditsinga nisbatan ularning sifatini oshirish uchun universal yondashuv imkoniyatlarini o'rganish vazifasi berilgan. Raqamli tasvirni qayta ishlash tizimlarining samaradorligini oshirishga qaratilgan dissertatsiya mavzusi dolzarb va amaliy yo'nalishga ega.
Dissertatsiya ishining maqsadi yarim tonna tasvirlarni oldindan qayta ishlashning nazariy yondashuvlarini o'rganish, diskret koagulyatsiyaning harakatlanuvchi operatorlari asosida ularni qayta ishlashning yangi usullari va algoritmlarini ishlab chiqish va ingl.
Maqsadga erishish quyidagi vazifalarni hal qilish bilan bog'liq:
1. Raqamli tasvirni oldindan davolash usullari va algoritmlarini ko'rib chiqish va tahlil qilish.
2. Bo'yinning infuziyasida ishlatiladigan baholash mezonlarini tahlil qilish tasvir sifati. Rivojlanish va tadqiqot xususiyatlarni hisobga olgan holda sifatni baholash uchun kompleks mezon biomedikal tasvirlar.
3. Raqamli yarim tonli tasvirlarni a priori aniqlangan xususiyatlarga ega bo'lgan ishlov berish uchun surma niqoblarini sintez qilish nazariyasini o'rganish.
4. Ularning vizual sifatini oshirish uchun yarim tonna tasvirlarni oldindan davolash uchun algoritm va texnikani ishlab chiqish
5. Xususiyatlari nazariy va eksperimental o'rganish yarim tonnaning ravshanligi va kontrastini oshirish uchun ishlab chiqilgan algoritmlar rasmlar.
6. Universal test tasvirini tanlash uchun asos. Dasturiy ta'minot asosida ishlab chiqilgan algoritmlarni sinash yarim tonnaning ravshanligi va kontrastini oshirish uchun ishlab chiqilgan usullar rasmlar.
Tadqiqot usullari. Dissertatsiya ishida spektral-korrelyatsion tahlil usullari, integral geometriya, Konvensiya algebra, lineer differensial operatorlar zamonaviy signal nazariyasi, matritsa nazariyasi, qatorlar soni tahlili usullari, tasvirlarni raqamli qayta ishlash usullari va diskret ortogonal transformatsiyalar nazariyasi asosida kompyuterlarga matematik va yarim tabiiy modellashtirish usullari qo'llanildi.
Ishning eksperimental qismi matbcad 11.0 dasturiy ta'minot to'plami, shuningdek Matlab 7.0 texnik hisoblash tizimi asosida yaratilgan maxsus dasturiy ta'minot yordamida amalga oshiriladi.
Ishning ilmiy yangiligi belgilangan vazifalarni hal etishda olingan quyidagi ilmiy natijalarni o'z ichiga oladi:
- tasvirni qayta ishlash uchun 3x3 va 5x5 o'lchamdagi surma niqoblarini sintez qilish usuli, oldindan ishlov berish bosqichida yarim tonna tasvirlarning vizual sifatini oshirish uchun algoritmlarni amalga oshirish imkonini beradi;
- universal test tasvirida va haqiqiy biomedikal tasvirlarda diskret koagulyatsion maskalarni surma usulini qo'llaydigan ishlab chiqilgan algoritmni o'rganish natijalari;
- optik tizimni aniqlash uchun kompensatsiya algoritmi
5x5 o'lchamdagi surma niqoblariga asoslangan tasvirlarni olish.
Ishning amaliy ahamiyati quyidagicha:
1. Maskalarning algebraik xususiyatlarini o'rganish natijalari va qarama-qarshi maskalarni sintez qilish uchun tavsiya etilgan usul asosida 24% aniqlik va tasvirning kontrastini 11% ga oshirishga erishildi.
2. Bunday umumiy kontrast {K), bir o'lchovli axborot entropisi (I), RMS-kvadrat og'ish (SKO>, hisobga tasvir idrok Visual analizator xususiyatlarini hisobga olgan holda va imkon sifatida baholash sifatida mezonlarini o'z ichiga olgan, bir kompleks yondashuv taklif yarim tonna tasvir sifatini miqdoriy baholash uchun tasvir sohalarida yorqinligi taqsimlanishining bir xilligi, shuningdek, umumlashtirilgan kontrastning o'zgarishi va tasvirning dinamik diapazoni.
3. Tavsiya etilgan keng qamrovli mezon va test tasvir modeli asosida yarim tonli tasvirlarni oldindan qayta ishlash uchun turli xil raqamli filtrlarning qiyosiy tahlilini o'tkazish imkoniyati taqdim etiladi.
Tikish uchun:
- 3x3 va 5x5 o'lchamdagi surma niqoblarini sintez qilish usuli
yarim tonna tasvirlarni qayta ishlash, amalga oshirish imkonini beradi
oldindan davolash bosqichida yarim tonna tasvirlarning vizual sifatini oshirish uchun algoritmlar;
- ishlab chiqilgan algoritmni o'rganish natijalari
universal tarzda diskret koagulyatsiyaning toymasin maskalari usuli
sinov tasvirlari va haqiqiy biomedipin tasvirlari;
- optik tizimni aniqlash uchun kompensatsiya algoritmi
5x5 o'lchamdagi surma niqoblariga asoslangan tasvirlarni olish.
Natijalarni amalga oshirish. Yaratilgan ishlash usullari va algoritmlari
ko'rish Vladimir mintaqaviy klinik onkologiya dispanserida raqamli tibbiy x-ray, ultratovush, endoskopik, CT, mikroskopik tasvir qayta ishlash uchun ishlatiladi va biotibbiyotshunolik muhandislik Gou VPO kafedrasi o'quv jarayonida "Vladimir davlat universiteti".
Ishni sinab ko'rish. Dissertatsiya ishining asosiy qoidalari va natijalari quyidagi konferensiyalarda muhokama qilindi va muhokama qilindi: V MHTK" tibbiyot va ekologiyada Fizika va radioelektronika (freme-2004)", Vladimir, 2004; VI xalqaro ilmiy-amaliy konferentsiya "XXI asrda Sog'liqni saqlash va ta'lim", Moskva, 2005; 6-xalqaro konferensiya "Tibbiyotda radioelektronika", Moskva, 2005; VI MHTK "tibbiyot va ekologiyada Fizika va radioelektronika (freme-2006)" (Suzdal, 2006), "elektron viloyat" mintaqalararo ko'rgazmasi (Vladimir, 2006), VII MHTK " tibbiyot va ekologiyada Fizika va radioelektronika (freme-2008)"(Suzdal, 2008).
Adabiyotlar. Dissertatsiya mavzusi bo'yicha 15 ta ilmiy ishlar, shu jumladan 6 ta Markaziy peer-reviewed jurnallarda maqolalar, 9 ta xalqaro konferensiya va simpoziumlarda ma'ruzalar chop etildi.
Tuzilishi h dissertatsiya hajmi. Dissertatsiya ishi kirish, to'rtta bobdan iborat bo'lib, xulosalar, xulosalar, foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati, jumladan, 83 nom, bitta h ilovasi 131 betlik matn terish matnida keltirilgan. Tasviriy materialda 52 ta rasm va 5 ta jadval mavjud.
Ishning asosiy mazmuni kirish vizualizatsiya tizimlarida yarim tonna tasvirlarni oldindan qayta ishlash usullarini takomillashtirishning ilmiy muammolari (ba'zi tasvirlarning bnomeditsasi misolida) va uning dolzarbligi oqlanadi. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari aniqlandi. Himoya qilinadigan asosiy ilmiy natijalar shakllantirildi, ularning ilmiy yangiligi va amaliy ahamiyati ko'rsatildi
Birinchi qism raqamli tasvirni qayta ishlash bo'yicha zamonaviy tadqiqotlar holatini tahlil qiladi. Berilgan tasvirlarni tasniflash. Tadqiqot ob'ekti sifatida biomedikal tasvirlarning o'ziga xosligi aniqlandi.
Tasvirni oldindan qayta ishlash va tiklash bosqichida geometrik va koordinatali transformatsiyalar tasvirni shakllantirishda kiritilgan buzilishlarni bartaraf etish uchun amalga oshiriladi, shuningdek, mahalliy filtrlash va optikani noto'g'ri talqin qilish, tasvirlarning loyqaligi, ob'ektning harakati, sensordagi xatolar yoki tasvir signallarini uzatishda.
[7] ushbu muammoni hal qilish uchun 3x3 o'lchamidagi mahalliy diskret koagulyatsion operatorlarni tasniflash nazariyasi ishlab chiqildi. Shu sababli, tasvirni aniqlashtirish, kontrastni oshirish va tasvirlarni qayta tiklash uchun tasvirni oldindan davolash usullarini takomillashtirish maqsadida qo'shimcha tadqiqotlar o'tkazish vazifasi qo'yildi.
Ikkinchi bobda tasvirlarning vizual sifatini aniqlash uchun ko'plab yondashuvlar mavjudligini ko'rsatadi. Ayni paytda turli mualliflarning asarlarida uchraydigan baholashlar va sifat mezonlari tahlil qilindi. Inson vizual analizatorining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda tasvirlarning vizual sifatini baholashning xolisligi va ishonchliligini oshirishga imkon beradigan bunday mezonlarni tanlash uchun asos mavjud.
Shu munosabat bilan, ishda tasvirning vizual sifatini baholash mezonlari, tasvirning umumlashtirilgan kontrasti (K0), tasvirning bir o'lchovli axborot entropiyasi (I), taqqoslanadigan tasvirlarning (MSR) yorqinligi funktsiyalarining RMS sapmalari va rasmdagi ob'ektni aniqlash ehtimoli (P).- Ushbu mezonlarni tanlash, ular etalon bo'lmagan, baholanishi mumkinligi bilan bog'liq edi . sifat. tasvirlar" ko'r-ko'rona " va oldindan ma'lumot talab qilmaydi (standart).
Tasvirning yorqin xarakteristikasini baholashga imkon beruvchi umumiy kontrast formula bo'yicha hisoblanadi:
bu erda y = 1 koeffitsienti chiziqli yorqin xususiyatga ("gamma" koeffitsienti) mos keladi; MxN-rasm hajmi; {i, J) - joriy tasvir pikselining koordinatalari; £ e - joriy tasvir pikselining yorqinligi;£, _ - tasvir maydoni bo'yicha o'rtacha piksel yorqinligi. Tasvirning vizual sifatini baholash mezonlari sifatida umumlashtirilgan kontrastni qo'llash psixofizyologiya nuqtai nazaridan oqlanadi
bu erda y = 1 koeffitsienti chiziqli yorqin xususiyatga ("gamma" koeffitsienti) mos keladi; MxN-rasm hajmi; {i, J) - joriy tasvir pikselining koordinatalari; £ e - joriy tasvir pikselining yorqinligi;£, _ - tasvir maydoni bo'yicha o'rtacha piksel yorqinligi. Vizual tasvir sifatini baholash mezonlari sifatida umumlashtirilgan kontrastni qo'llash vizual algılamanın psixofizioloji nuqtai nazaridan (uchastkaning tasvirini ingl.
Yorqinligi histogrami ehtimollik taqsimotini baholash sifatida qaraladi
bu erda u - joriy yorqinlik b piksel soni( 1 dan qadriyatlar oladi /; kulrang 8 bit 1=255 taqdirda), n-tasvir piksel umumiy soni, p-yorqinligi b bilan piksel ehtimoli. Yorqinligi histogrami mustaqil mezon sifatida ishlatilishi mumkin, chunki u umumiy kontrast va dinamik tasvir oralig'idagi o'zgarishlarni baholashga imkon beradi.
Bir qator mualliflar tomonidan ishlatiladigan tasvirning axborot entropiyasi, yorqinlik taqsimotining tasvir maydoniga (yoki uning ba'zi sohalarida) bir xilligini baholash uchun ishlatiladi:
bu erda D-pikseldagi ob'ektning xarakterli hajmi va D funktsiyasi
1 ichida*
mahalliy kontrast D = \oe va C = 1 - - mahalliy
H-C^"
kontrast, Wf " h va vob^kg-fon va ob'ektning yorqinligi, ular orasidagi chegaraning atrofida.
Ifodani tahlil qilish (4) tasvirdagi ob'ektni tanib olish ehtimoli mahalliy kontrastga juda bog'liqligini ko'rsatadi. O'z navbatida, ob'ektning chegarasi qanchalik keskin va tasvirdagi shovqin darajasi qanchalik past bo'lsa, kontrast yuqori bo'ladi.
Shuning uchun tadqiqot va
raqamli tasvirni qayta ishlashning mavjud usullari va algoritmlarini takomillashtirish, shuningdek, yangi, yo'naltirilgan va kontrastli tasvirlarni ishlab chiqish.
Uchinchi bob ko'rsatiladi! yarim tonna tasvirlarni oldindan davolash uchun alohida koagulyatsion operatsiyani qo'llash imkoniyatlari
Ish [5] fazoviy sohada chiziqli filtrlash jarayoni p, q — joriy toymasin niqob element t,ba'zi tomonidan belgilanadi toymasin niqob t elementlari bilan tasvir f(x,y) ivish g(x , y) natijasida tasvirlangan mumkin,deb ko'rsatadi ikkinchi darajali D2 lineer differentsial operatori. analog protetib tasvir ustida harakat:
gix,,)=D'f(,,y) (5)
Differensial operatorga mos keladigan xarakterli tenglama quyidagicha yozilishi mumkin:
awX2 + 2amXY + auY2 + 2awX + 2auY + a^ = 0,
bu erda (X,Y) - xarakteristikaning tekisligi, ATP [7] ga ko'ra, kanonik shaklga o'zboshimchalik bilan niqob olib keladigan koeffitsientlarning nosimmetrik matritsasi.
Tenglama (6) quyidagilarni tasvirlaydi bu erda (X, Y) - xarakteristikaning tekisligi, [7] ga ko'ra, kanonik shaklga o'zboshimchalik bilan niqob olib keladigan koeffitsientlarning atpsimmetrik matritsasi.
Tenglama(6) egri h (X, y) — o - ba'zi konus tasavvurlarini tasvirlaydi. A-C - 0 - bir hil bo'lgan niqoblar, aks holda-heterojen.
Ushbu yondashuv alohida konvektsiya operatorlarini konus tasavvurlar turi bo'yicha elliptik, parabolik va hiperbolik deb tasniflash imkonini beradi. 2-chi tartibi egri sifatida toymasin niqoblar geometrik talqini siz filtrlash natijasida o'z ta'sirini tadqiq qilish imkonini beradi turli bo'lgan barcha niqoblar (fokal parametr, eksantriklik, asosiy o'qi burchagi xususiyatlari) uchun umumiy parametrlarini aniqlash imkonini beradi. Bu filtrni faqat bitta raqamli parametr bilan boshqarish imkoniyatini ochadi, bu maskaning barcha elementlarini "busting" qilmasdan.
Tasvirlardagi ob'ektlarning chegaralarini aniqlash va ularning yo'nalishini aniqlash uchun [1] teginishli parabolik niqoblar afzallik beriladi. P < 1 fokal parametrining qiymatlarida ularning sezgirligi xatti-harakati haqida ma'lumot yo'qligi qo'shimcha tadqiqotlar zarurligiga olib keldi [5].
Parabolik teginishli niqob bo'lsa, uning tarkibiy qismlari xarakterli parabola p ning fokal parametri va kaskadli RV nuqtasining asosiy o'qining burchaklari (0,0-rasm) orqali ifodalanishi mumkin. 1). F va 6 burchaklaridagi farqga sezuvchanlik (shakl bo'yicha egri. 4) analitik ifoda bilan ifodalanishi mumkin
parabolik murakkab inshooti
Iya. Bu erda 6-asosiy eksa burchagi (nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan), f - nuqta (0,0"
Eksperimental nuqtalarni, shuningdek, turli g (p ~ 0 tashqari), korrelyatsiya koeffitsienti g = 0,99964 bilan yaqinlashtiradi. Bu holat sezuvchanlik parametrini izohlashga imkon beradi, masalan, umumiy pozitsiyaning sensorli toymasin maskalari sezgirligining vektorli tabiati eksperimental ma'lumotlar bilan yaxshi mos keladi [2].
Ushbu yondashuv formula bo'yicha oldindan belgilangan xususiyatlarga ega bo'lgan kurs (gradient) maskalarni sintez qilish uchun ishlatilishi mumkin:
Bu erda xarakterli tenglama koeffitsientlari:
«00 = cosse(£2+tg29) aol = (£2-l)sin0eos0 au = cos2e(l +eHg2e)
Geometrik parametrlar dastlabki ma'lumotlar sifatida ishlatiladi: asosiy eksa aylanish burchagi xarakteristikasi yoki markazlashtirilgan parametr. Differentsiatsiya operatsiyasiga teng bo'lgan p < 0,22 fokal parametrining qiymatlarida sezuvchanlik vektorining bo'linishining aniqlangan hodisasi tasvirdagi ob'ektlarning chegaralarini ta'kidlash uchun ishlatilishi mumkin.
Tasvirlarni tiklash (tiklash) muammosini hal qilish uchun, aylanma filtri elementlarini buzilish omilining impuls xarakteristikasi (ularning) asosida topish usuli umume'tirof etilgan. Shu munosabat bilan, tasvirni qayta ishlash uchun 3x3 o'lchamdagi teskari surma niqoblarini o'rganish ham dolzarb vazifadir.
Bundan tashqari,a^, aai koeffitsientlari asosida...,aii teskari maska uchun ifodani yaratadi. Qorin bo'shlig'i organlarining raqamli rentgen tasviri bilan oldindan belgilangan niqobning pıhtılaşması va teskari niqob bilan olingan javobning pıhtılaşmasının asl tasvirini qayta tiklash aniqlandi. Bundan tashqari, chizilgan niqob bilan manba tasvirining pıhtılaşması tekshirildi.
Natijada, yuz maskalari qoniqarli aniqlik bilan tasvirlarni tiklaydi: SKO=12,74% masklar uchun "Laplas nuqsoni", SKO = 6,52% maska uchun.
Harakatlanuvchi niqoblar nazariyasi yordamida mo hisoblash uchun tavsiya etilgan yondashuv buzib tizimining puls xususiyatlariga tasvirlarni qayta tiklash uchun chiziqli dekonvolyutsion filtrlar sintez umumiy qabul texnikasi rivojlantirish, bundan tashqari, BPF hisoblash uchun juda qimmat hisoblash operatsiyalarini talab qilmaydi.
3x3 o'lchamdagi diskret koagulyatsiyaning maskalari guruh xususiyatlarini o'rganish ikki maskaning koagulyatsiyasi [8] haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. X va y dan polinom - ikkinchi darajali, q{x, y) kamaytirish operator L2[b(x,^)] topildi, 5x5 niqobining differentsial operatorining polinom darajasini pasaytirish imkonini beradi, bu ikki o'lchamli 3x3 niqobining ikkinchi qismini aniqlaydi. Bu holda kamaytirish xususiyatlari: C{x > y)=&[p{xtyii = + cmx + cmy + C*>xl+C"xy + ctay1. 3x3 kanonik niqobiga asoslangan holda, maskalarni kamaytirish uchun ifoda olinadi.

Ushbu texnik ikkita toymasin niqobli tasvirning koagulyatsiyasini ketma-ket hisoblashni soddalashtirishga imkon beradi.
Buning uchun reduktsiya operatori (differensial operator tartibini pasaytirish) yordamida ikkita maskaning koagulyatsiyasi hisoblab chiqiladi. Keyinchalik, bu konvertatsiya natijasida olingan koagulyatsiyaning yadrosi bilan tasvirning koagulyatsiyasi hisoblanadi. Ushbu yondashuv tasvir sohasida ikkinchi o'tish uchun zarur bo'lgan hisoblash xarajatlarini kamaytirishga imkon beradi.
5x5 surma niqoblarining kanonik parchalanishi tasvirni qayta ishlash uchun yuqori o'lchamli chiziqli filtrlarni o'rganishga imkon beradi, bu esa keyingi tadqiqotlar uchun yangi imkoniyatlar ochadi [1].
Olingan 5x5 o'lchamli primitiv maskalar to'plami ma'lum bir xarakterli tenglama yoki berilgan differensial operator [1,7] uchun niqobning kanonik shaklini olish imkonini beradi.
Ushbu ibtidoiy maskalar asosida niqobning kanonik shakli qurilishi mumkin bu erda (p,q) ~ 5x5 niqob elementlarining indekslari; Arya-differensial operatorni aniq belgilaydigan koeffitsientlar to'plami va 4 buyrug'ining tekis xarakterli egri; A' '" - 5x5 boshlang'ich maskasi.
Tasvir bilan maskaning alohida koagulyatsiyasi tartibi analitik ravishda 4-darajali differensial operatorning analog tasvir prototipiga ta'siri sifatida tavsiflanishi mumkin:
qaerda (duu - p, D tartibini differentsiatsiya qilishning yagona operatsiyalari, topilgan niqob-primitivlar orqali ifodalanadi.
4x5 niqoblarini tasniflashga imkon beruvchi 5-darajali xarakterli tenglama;