Vektorlar algebrasi asoslari

VEKTORLAR ALGEBRASI ASOSLARI


REJA


1. Vektor va skalyar kattaliklar
2. Vektorlar ustida amallar
3. Vektorlarning skalyar va vektorial kupaytmasi
4. Vektorlarning qo'llanishi.

Fizik kattaliklar vektor va skalyar kattaliklarga bo'linadi. Faqat son qiymati bilan aniqlanadigan fizik kattaliklar skalyar kattalik deyiladi. Son qiymati va fazodagi ma'lum yo'nalishi bilan aniqlanadigan fizik miqdor vektor kattalik deyiladi. Vektorlarning ta'rifidan ko'rinadiki son qiymatlari teng bo'lgani bilan, yo'nalishlari har xil bo'lsa ular teng bo'lmaydi. Ikki vektor bir-biriga teng bo'lishi uchun ularning uzunligi ham yo'nalishi ham teng bo'ishi kerak.Vektorning miqdori va yo'nalishini to'la aniqlash uchun uning boshi va uchini belgilovchi nuqtalarning vaziyatini fazoda sanoq sistemasiga nisbatan ko'rsatish qulay. Sanoq sistemasi vektorning fazoda qanday o'rnashganini aniq ko'rsatib beradi. Vektorni geometrik tasvirlash, ya'ni ma'lum yo'nalishdagi to'g’ri chiziq kesmasi bilan tasvirlash mumkin, 1-rasmga qarang.

Bu kesmaning uzunligi

A B
1-rasm.
AB ma'lum masshtabda vektorning son qiymatini ko'rsatadi. Vektor yotgan to'g’ri chiziq vektorning ta'sir chizig’i deyiladi. Har qanday vektor quyidagi geometrik elementlar bilan aniqlanadi.
1. Vektor miqdorning tasvirlovchi kesmaning uzunligi
2. Vektorning ta'sir chizig’i.
3. Vektorning yo'nalishi. Vektorni tasvirlovchi kesmaning uzunligigini vektorning moduli deyiladi. AB geometrik kesmaning uzunligi vektorning moduliga teng bo'lsa, A va B uchlari vektorning boshi va uchi hisoblanadi. Ikki vektor bir tomonga yo'nalgan va modullari teng bo'lsa, ular teng vektorlar deyiladi. Ya'ni va bo'lsa bo'ladi vektorning yo'nalishi qarama-qarshi tomonga o'zgarsa, ga teskari yo'nalgan,,,vektor hosil bo'ladi. va bo'lsa .
Vektorlar bir tomonga yo'nalgan bo'lsa paralel vektorlar deb, qarama-qarshi tomonga yo'nalgan bo'lsa, teskari, paralel vektorlar deb ataladi. Umuman paraelel va teskari paralel vektorlar kolleniar vektorlar deb ataladi.
Bir tekislikda yotuvchi vektorlar komplanar vektorlar deyiladi. Moduli birga teng vektorlar birlik vektor deyiladi.
Endi vektorlar ustidagi amallar bilan tanishamiz.
1
. Vektorlarni qo'shish: vektor bilan vektorni qo'shish uchun vektorni o'z o'rnida qoldirib, uning uchiga vektorning boshi qo’yiladi. vektorning boshi bilan vektorning uchini tutashtiruvchi vektor bu ikki vektorning yig’indisi bo'ladi. (2-rasm.)
I
kki va vektorlar har qanday tartibda qo'shilsa ham ularning yig’indisi va vektorlarga qurilgan. paralelogram diognaliga teng bo'ladi.Vektorlar bir tomonga yo'nalgan bo'lsa ular algebrik yo'l bilan qo'shiladi. Ya’ni,
Bir necha vektorlarni qo'shish uchun ikki vektorni qo'shish qoidasiga muvoffiq hamma vektorlarni birin-ketin qo'shib yig’indisini topamiz. Masalan, n ta , , ,…….. vektorlar berilgan bo'lsin. Oldin bilan ni qo'shamiz. Keyin + ni bilan qo'shamiz. Bu vektorning yig’indisini + + ni to'rtinchi vektor bilan qo'shamiz va xokozo. Shunday qilib hamma vektorlarning yig’indisini topamiz. shu tartibda qurilgan ko'pburchak vektor ko'pburchagi deyiladi (3-rasm).
2) Vektorlarni ayirish.
va vektorning ayirmasini topish uchun vektorni vektorga qo'shish kerak, ya’ni

vektor bilan vektorga qurilgan paralelogramaning bir diognali (kattasi) shu vektorlar yig’indisiga va ikkinchi diognali ularning ayirmasiga teng bo'ladi. (4-rasm).

3) Vektorning o'?dagi proektsiyasi. Biror vektorning A boshi va B uchidan koordinatalar o'?lariga tushirilgan proektsiyalar uzunligi (AB kesma uzunligi) shu vektorning o'qdagi proektsiyasi deb ataladi (5-rasm) Vektorning biror o'qdagi poroektsiyasiga tegishli yo'nalishni bersak, vektorning komponentasini topgan bo'lamiz. Vektorning komponenti ham vektor bo'ladi. Vektor proektsiyasi bilan vektor komponentining farqiga borish kerak. Vektor proektsiyasi vektor komponentining modulidir. Proektsiya ma'lum sondir. Komponent esa ma'lum o'q bilan yo'nalgan vektordir. O'qning birlik vektori bo'lsin u holda ning o'qdigi komponenti

4) Radius vektor. Hozir miqdori va yo'nalishi aniq bo'lgan lekin vektor boshining holatiga bog’liq bo'lmagan vektorlar ustida fikr yuritdik. Bunday vektor erkin vektor deb yuritiladi. Ammo vektorlar vektor boshini aniqlovchi nuqtaning holatiga bog’liq bo'lishi mumkin. Bunday vektor radius - vektor deyiladi. Fazoda biror 0 nuqtani tanlab, uni boshlang’ich 0 nuqtadan M ga qarab borgan to'g’ri chiziq kesmasi yo'nalishi bilan aniqlanadi. Bu kesma radius vektor bo'ladi va bilan belgilanadi. Boshlang’ich 0 nuqta o'z holatini o'zgartirmasa fazo nuqtalari M ning holatiga bog’liq uning ma'lum funktsiyasi tarzida ifodalanadi. Shunday qilib fazodagi har qanday nuqtaning holatini biror boshlang’ich nuqtaga nisbatan radius vektor orqali aniqlash mumkin.
5) Vektorlarning skalyar ko'paytmasi. Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi deb ularning absolyut qiymati bilan ular orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga aytiladi. (6a-rasm).
Agar vektorlar perpendikulyar bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng. Masalan, vektorlarning skalyar ko'paytmasiga misol qilib fizikada mexanik ishni ko'rsatish mumkin.

6) Vektorlarning vektorial ko'paytmasi. Vektorlarning vektor ko'paytmasi deb ularning absolyut qiymati bilan ular orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng vektor kattalikka aytiladi.

Ikki vektorning vektorial ko'paytmasi vektor bo'ladi.Vektor ko'paytmaga misol qilib mexanikada kuch momentini ko'rsatish mumkin.Ya'ni

Vektorlar fan va texnikaning turli sohalarida keng qo'llaniladi.