Vektorlarning skalyari vector va aralash ko’paytmalarining fizik ma’nosi

Vektorlarning skalyari vector va aralash ko’paytmalarining fizik ma’nosi
Yuqorida, vektorlar ustidagi chiziqli amallar: vektorni qo’shish va ayirish, vektorni songa ko’paytirish amallari bilan tanishdik. Endi chiziqli bo’lmagan yangi amal, vektorni skalyar ko’paytirish amali bilan tanishaylik.
Fazoda (yoki tekislikda) va vektorlar berilgan bo’lsin. O nuqtaga vektorlarni qo’yamiz O,Q,N nuqtalar orqali aniqlangan tekislikda, OQ va ON nurlar yordamida ikkita burchak aniqlanadi, bulardan biri ikkinchisi. Bu burchaklarning eng kichigini va vektorlar orasidagi burchak deb aytiladi va ko’rinishda belgilaymiz. 1-tarif. va vektorlarning uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini ko’paytirishdan hosil bo’lgan son bu vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb aytiladi. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi yoki ko’rinishida yoziladi. Ta’rifga ko’ra
Misol. bo’lib, bo’lsa, ni toping.
Echish: .
Natija. Nol vektorning har qanday vektorga skalyar ko’paytmasi nolga teng.
Skalyar ko’paytma xossalari 10. Ixtiyoriy ikkita vektor uchun ; (komutativ) 20. Ixtiyoriy uchta, va vektorlar uchun ; 30. Ixtiyoriy vektor uchun 40. coni vektorning skalyar kvadrati deyiladi va kabi belgilanadi. soni vektorning uzunligi deyiladi va || bilan belgilanadi. 50. Agar =0 bo’lsa, 2=0.2
Isbot. 10-xossani isbotlaylik.
Ta’rifga ko’ra . Kosinus juft funksiya ekanini e’tiborga olsak, u holda . 30-xossa, skalyar ko’paytma ta’rifiga ko’ra , lekin va . Shuning uchun . 40-xossa skalyar ko’paytma ta’rifidan. Agar va vektorlar perpendikulyar bo’lsa, skalyar ko’paytma nolga teng: (5.2) Buning isboti ta’rifdan kelib chiqadi. Ortanormallangan bazis uchun (5.3) Haqiqatan skalyar ko’paytma ta’rifidan Xususiy holda (5.4) Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalyar ko’paytmasi. Uch o’lchovli vektor fazoda ortonormal bazis berilgan bo’lsin, bu bazisga nisbatan , koordinatalarga ega:m va vektorlarning skalyar ko’paytmasini hisoblashda (5.2) va (5.4) larni e’tiborga olsak, quyidagilarga ega bo’lamiz.
Demak, koordinatalari bilan berilgan ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi bu vektorlarning mos koordinatalari ko’paytmasining yig’indisiga teng. Ya’ni: (6.1) bu tenglikdan Natijalar. 1. vektor uzunligi (6.2) 2. Ikki , vektorlar orasidagi burchak (5.1) ga ko’ra (6.3) Agar va vektor koordinatalar bilan berilgan bo’lsa, bu vektorlar orasidagi burchak ushbu formula bilan aniqlanadi.3 (6.4) 1-misol. vektorlarning qaysi jufti perpendikulyar?
Yechish , , skalyar ko’paytmalarini tekshiramiz:
Bundan .
2-misol. vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechish (6.3) formuladan foydalanamiz. . Bundan .
Foydalaniladigan adabiyotlar ro’yxati
Asosiy adabiyotlar:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент. «Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма) 1-5 бет
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 1- қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув қўлланма)


Tekislikda to'g'ri chiziqning turli tenglamalari. to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikda Oksi ko'rinishga ega bo'lib, a va b nolga teng bo'lmagan ba'zi haqiqiy sonlardir.
Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bunday nomga ega bo'lishi bejiz emas - a va b raqamlarining mutlaq qiymatlari koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning uzunliklariga teng. Ox va Oy, kelib chiqishidan boshlab.
Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik. Biz bilamizki, to‘g‘ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalari ushbu to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi. Keyin segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziq nuqtalardan o'tishi aniq ko'rinadi va chunki va ... Va nuqtalar faqat Ox va Oy koordinata o'qlarida joylashgan bo'lib, a va b birliklari bilan koordinata boshidan chiqariladi. A va b raqamlari uchun belgilar chiziq segmentlarini yotqizish kerak bo'lgan yo'nalishni ko'rsatadi. "+" belgisi segmentning koordinata o'qining musbat yo'nalishida joylashtirilganligini anglatadi, "-" belgisi buning aksini anglatadi.
Keling, yuqorida aytilganlarning barchasini tushuntiruvchi sxematik chizmani chizamiz. Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasidagi a va b raqamlarining qiymatlariga qarab, to'g'ri chiziqlarning qattiq to'rtburchaklar koordinata tizimiga nisbatan joylashishini ko'rsatadi.
Endi maʼlum boʻldiki, toʻgʻri chiziqning segmentlardagi tenglamasi bu toʻgʻri chiziqni Oxy toʻrtburchaklar koordinata sistemasida qurishni osonlashtiradi. Ko'rinish segmentlarida to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni qurish uchun tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtalarni belgilash va keyin ularni o'lchagich yordamida to'g'ri chiziq bilan bog'lash kerak.


Aylana va sfera tenglamalari.
T а` r i f. Mаrkаz dеb аtаlаuvchi nuqtаdаn bаrоbаr uzоqlikdа yotuvchi nuqtаlаrning to`plаmigа аylаnа dеyilаdi.


To`g`ri burchаkli kооrdinаtаlаr sistеmаsidа аylаnаning rаdiusi R vа mаrkаzi А (а ; b) nuqtаdа bo`lsin. N (х ; y) аylаnаdаgi iхtiyoriy nuqtа. Аylаnаning tа`rifigа ko`rа: АN=R.
Ikki nuqtа оrаsidаgi mаsоfаni tоpish fоrmulаsigа аsоsаn:


1.1
Tеnglikning ikkitа tоmоnini kvаdrаtgа ko`tаrib, АN=R ekаnligini e`tibоrgа оlsаk kеlib chiqаdi. (1-chizmа)

1 – c h i z m a.

aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo`lgani uchun (1.1) tenglama aylananing markazi nuqtada bo`lgan kanonik (sodda) tenglamasi deyiladi. Aylananing tenglamasi o`zgaruvchi koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajalidir. Xususiy holda, agar aylananing markazi koordinatalar boshida bo`lsa, uning tenglamasi: (1.2)

(1.1) tenglamada qavslarni ochib va ba`zi bir ayniy almashtirishlarni bajarib, aylananing quyidagi tenglamasini hosil qilamiz:
(1.3)


Bu tenglamani 2–tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi (1) bilan solishtirganda aylana tenglamasi uchun quyidagi ikkita shart bajarilganini ko`rish mumkin: 1) , koordinatalar ko`paytmasi bo`lgan li had qatnashmayapti; 2) va lar oldidagi koeffisientlar o`zaro teng, ya`ni ; . Bu holda (1) tenglama (1.4) ko`rinishda bo`lib aylanani tasvirlaydi.


Agar ; ; (1.5) bo`lsa, (1.4) tenglama (1.2) tenglamaga aylanadi va, aksincha (1.1) tenglamadan (1.5) formulalar yordamida (1.4) tenglamaga o`tish mumkin.
Mumkin bo`lgan uchta holni ko`ramiz:
1) . Bu holda (1.6) tenglama va demak, unga teng kuchli bo`lgan (1.4) tenglama ham markazi nuqtada bo`lgan, radiusi dan iborat aylanani aniqlaydi.
T a` r i f. Aylana bilan umumiy bitta nuqtaga ega bo`lgan to`g`ri chiziq aylanaga o`tkazilgan urinma deyiladi. Agar aylananing biror nuqtasining koordinatasi bo`lsa, u holda bu nuqtadan aylanaga o`tkazilgan urinmaning tenglamasi (1.2) tenglama uchun (1.7), yoki (1.1) tenglama uchun (1.8). ko`rinishda yoziladi.


1 – m i s o l. Markazi nuqtada va radiusi 3 ga teng bo`lgan aylananing tenglamasini tuzing.


Y e c h i s h . ; , . Bularni (1.1) formulaga qo`yamiz:


J a v o b:


2 – m i s o l. Markazi nuqtada bo`lgan va nuqtadan o`tadigan aylana tenglamasini tuzing.


Y e c h i s h . Radiusni aylana markazidan uning birorta berilgan nuqtasigacha bo`lgan masofa sifatida topamiz. Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak:


J a v o b:


3 – m i s o l. va nuqtalardan va markazi absissalar o`qida bo`lgan aylananing tenglamasini tuzing.
Y e c h i s h . Aylananing markazi bo`lsin. U holda ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko`ra .


Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari
Yuqorida algеbraik chiziq va uning tartibi to’g’risida tushuncha kеltirilgan edi. Shuningdek yuqorida birinchi tartibli algеbraik chiziqning xossalarini uning tеnglamasiga asoslanib tеkshirdik. Bu bobda ikkinchi tartibli algеbraik chiziqlarning gеomеtrik xossalarini o’rganishga o’tamiz. Ayrim «aynigan hollarni» (ikki to’g’ri chiziqqa aylanib kеtish, mavxum chiziqlar va x.k.) nazarga olmasak, ikkinchi tartibli chiziklar uchtadir (ellips, gipеrbola, parabola). 5v chiziqlarning talay xossalari qadimgi Grеtsiya olimlari tomondano ochilgan edi (Mеnеxm, Apolloniy va boshqalar, eramizdan oldingi IV — III asrlar). Bu chiziqlar astronomiya, mеxanika fanlari va tеxnikada kеng qo’llanilardi.
I . Ta'rifi, kanonik tеnglamasi. Tеkislikda har bir nuqtasidan fokuslar dеb ataluvchi bеrilgan ikki F1, F2 nuqtagacha bo’lgan masofalari yigindisi bеrilgan PQ kеsma uzunligiga tеng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami ellips dеb ataladi. Bеrilgan kеsma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan katta2.
Bеrilgan kеsmaning uzunligini 2а (а > 0) bilan, fokuslar ora­sidagi masofani 2с(с > 0) bilan bеlgilaylik. Ta'rifga ko’ra3 а >с.
Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning Fx va F2 fokuslar dan maso­falari uning fokal radiuslari dеyiladi va mos 128rasm rlt г2 bi­lan bеlgilanadi, ya'ni
va .
Ellipsning ta'rifiga ko’ra гл, г2 fokal radiuslarning yig’indisi o’zgarmas bo’lib, bе­rilgan kеsma uzunligiga tеng, ya'ni
+ =2a yoki r + r =a (1)
(1)tеnglik ellipsga tеgishli ixtiyoriy nuqta uchun o’rinli bulib, uni koordina­talarda ifodalaylik.
Dеkart rеpеrini tеnglamaning sodda bo’lishiga imkon bеradigan qilib tanlaymiz: abstsissalar o’qini fokuslar orqali F2 dan F1 ga yunaltirib o’tkazamiz. Ft F kеsmaning o’rta pеrpеndikulyarini 128-chizmada ko’rsatilgan yunalishda ordinatalar o’qi dеb olamiz. Tanlangan bu (О, /, /) reperda F1 va F2 nuqtalarning koordinatalari mos ravishda (с, 0) va (—с, 0) bo’ladi.
Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini х, у bilan bеlgilasak, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra
(2)
rv r2 ning (2) munosabatlardagi qiymatlarini {{) tеnglikka quyib, ushbu tеnglamaga ega bulamiz:
+ = 2а. (3)
(3) tеnglama tanlangan rеpеrga nisbatan ellipsning tеnglamasidir,chunki М (xt у) nuqtaning koordinatalari bu tеnglamani faqat М nuqta ellipsga tеgishli bo’lgan holdagina qanoatlantiradi.
(3) tеnglamani kanonik tеnglama dеb ataluvchi ko’rinishga kеltiramiz.
(3) tеnglamaning birinchi hadini o’ng tomonga o’tkazib, hosil bo’lgan tеnglamaning ikkala tomonini kvadratga oshirsak.
х2 + 2сх + с2 + y2 = 4а - + х2 — 2сх + с + у
Bundan 2сх = 4а2 — 2сх —
Yoki = а - сх
Hosil qilingan tеnglamaning ikkala tomonini yana kvadratga oshiramiz:
а2х2 — 2а2сх+а2c2 + а2y2 = а4 — 2а2сх + сгхг
Bundan
(а2 — с2) х2 + а2у2 = а2 (а2 — с2). (4)
а > с=> а2 > с2, demak а2 — с2 > 0, bu musbat sonni Ь2 dеb olaylik:
b2 = а2 — с2, (5)
U holda (4) tеnlik quyidagi ko’rinishda yoziladi:
b2x2+a2y2 = a2b2, (6)
(6) ni агЬ2 ga bo’lib, ushbu tеnglamaga ega bo’lamiz:
(7) Endi (7) tеnglama haqiqatdan ham ellipsni ifodalashini isbot qilamiz, chunki ellips tеnglamasi (3) ko’rinishdan olingan edi. (7) tеnglama (3) tеnglamani ikki marta radikallardan o’tkazish bilan hosil qilindi. Dеmak, (7) tеnglama (3) tеnglamaning natijasi, boshqacha aytganda, koordinatalari (3) ni kqanoatlantiradigan har bir nuqta (7) tеnglamani ham qanoatlantiradi. Lеkin (3) tеnglama (7) tеnglamaning natijasi ekani ravshan emas. (3) tеnglama (7) tеnglamaning natijasi ekanini ko’rsatamiz.
Мг (Xj, уг) (7) tеnglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin, ya'ni
(8)
Мх nuqta uchun гх + г2 = 1а tеnglamaning bajarilishini ko’rsa­tamiz.
A nutstaning fokal radiuslari,
r = (9)r = (10) (8) tenglikdan y , bu qiymatni (9) va (10)tengliklarga qo’yib






tеngliklarga ega bo’lamiz. (5) munosabatdan с2 — а2 — Ь2 ва а2 = = Ь2 + с2, shuning uchun yuqoridagi tеngliklar ushbu ko’rinishni oladi:
│ │=│ │
Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish
2-tartibli chiziq dekart reperida (Oxy to’g’ri burchakli dekart sistemasida) o’zining a11x2+2a12xy+a22y2+2a10x+2a20y+a00=0 (2.3.1) tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. Bunday tenglamaga ega bo’lgan har qanday (aylanadan boshqa) chiziq bir juft bosh yo’nalishlarga ega, chunki (2.2.9) harakteristik tenglama doimo ikkita λ1, λ2 ildizlarga ega bo’lib, bosh yo’nalish vektorlarining koordinatalarini aniqlaydigan (2.2.8) sistema doimo 2 ta no’ldan farqli yechimlarga ega. (2.3.1) tenglamani kanonik (eng sodda) shaklga keltirish quyidagi teoremaga asoslanadi: dekart reperining koordinat vektorlari (2.3.1) chiziqning bosh yo’nalishlarini aniqlashi uchun (bosh diametrlar Ox va Oy o’qlarga parallel bo’lishlari uchun) a12=a21=0 bo’lishi zarur va yetarlidir.
Bu teoremaning isbotini qisqacha bayon etilgan. (2.3.1) te nglamada a12=a21=0 bo’ladigan qilib α burchakni tanlash zarur. Bunday qiymatlarda (λ≠0) tenglik bajarilishi talab qilinadi. Bu esa tenglamalar sistemasiga teng kuchli. (2.3.1) chiziqning xarakteristik tenglamasi λ2-(a11+a22)λ+(a11a22-a212)=0 yoki x2-J1λ+J2=0 (2.3.4)ko’rinishida bo’ladi. Uning λ1, λ2 ildizlarini topamiz (D>0bo’lganligi uchun a12≠0 shartda doim mavjud). formuladan λ1, λ2 ildizlarga mos yo’nalishlarni aniqlaymiz:
Bular bosh yo’nalishlar bo’lib, k1*k2=-1, tgα1*tgα2=-1, bo’ladi.
Demak, reperni α1 burchakka burib reperga o’tkazganimizda birlik vektorning koordinatalari
(2.3.5)
birlik vektorning koordinatalari esa (2.3.6) ko’rinishida bo’ladi, ya’ni:
. (2.3.7).
Shunday qilib, (2.3.1) tenglamada a12=0 bo’lishi uchun reperning koordinata o’qlari (2.3.1) chiziqning bosh diametrlariga parallel bo’lishlari zarur va yetarli ekan. Teorema isbotlandi.
Viyet teoremasiga ko’ra, (2.3.3) xarakteristik tenglamada J1=a11+a22=λ1+ λ2 , J2=a11*a22-a212=λ1* λ2 (2.3.8) tengliklar o’rinlidir. Bundan tashqari, a111=(a11cosα1+a12sinα1)*cosα1+(a21cosα1+a22sinα1)sinα1=(λ1cosα1)* *cosα1+(λ1sinα1)*sinα1=λ1 kelib chiqadi. Agar (2.3.8) tenglikni e’tiborga olsak, a122=λ2 bo’ladi. Shunday qilib,
J1=a11+a22= λ1+ λ2= a111+a122 =J11,
J2=λ1* λ2 =a111*a122-02=J21. (2.3.9)
Bu esa J1 va J2 kattaliklar tekislikda koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq bo’lmay, balki 2-tartibli chiziqning o’ziga xos ichki xossasigagina bog’liqdir.
Demak, koordinata o’qlarini α1 burchakka burilganda (2.3.1) tenglama λ1x2+λ2y2+2a/10x/+2a/20y/+a/00=0 (2.3.10) ko’rinishini oladi.
(2.3.10) tenglamani kanonik shaklga keltirish uchun koordinata o’qlarini parallel ko’chirishdan foydalaniladi, ya’ni O nuqtani O/ nuqtaga ko’chirish orqali Ox/y/ dan O/XY ga o’tiladi. Bu yerda bir necha hollar bo’lishi mumkin:
I. λ1≠0, λ2≠0, (λ1≠0:markazli chiziq). (2.3.10) tenglamada (2.3.11) Almashtirish yordamida O(0,0) koordinatalar boshini O/(-a/10/λ1,-a/20/λ2) nuqtaga parallel ko’chiramiz. Natijada (2.3.10) tenglama O/XY sistemaga nisbatan λ1X2+ λ2Y2+a1100=0 (2.3.12) ko’rinishga keladi. Bunda: (2.3.13) II. λ2=0, a/20≠0 yoki λ1=0, a//10≠0. Bu hollar bir-biriga o’xshashdir. λ2=0, a/20≠0 holda (2.3.10) tenglamada x/=X-a/10/λ1, (2.3.14) almashtirish qilamiz. Bu holda (2.3.10) tenglama O/XY sistemada λ1X2+2a/20Y=0 (2.3.15) ko’rinishga keladi. λ1=0 (λ2≠0), a/10≠0 bo’lgan holda esa almashtirish yordamida (2.3.10) tenglama O/XY sistemaga nisbatan λ2Y2+2a/10X =0 (2.3.16) ko’rinishga keladi. III. λ1=0, a/10=0 yoki λ2=0, a/20=0. (J1≠0, J2=0). Bu hollar ham bir-biriga o’xshash tekshiriladi. λ2=0, a/20=0 holda (2.3.10) tenglamada almashtirish yordamida O koordinatalar boshini O/(-a/10/ λ1,0) nuqtaga parallel ko’chiriladi. O/XY sistemada (2.3.10) tenglamaning ko’rinishi λ1X2+a1=0 (2.3.17) bo’lib, bunda dir. λ1=0, a/10=0 bo’lgan hol shunga o’xshash tekshiriladi. Shunday qilib, (2.3.1.) umumiy tenglama Oxy to’g’ri burchakli dekart sistemasidan Ox1y1 sistemaga koordinat o’qlarini (Ox ni) α burchakka burish bilan, so’ngra Ox1y1 sistemaning O koordinatalar boshini O/ nuqtaga parallel ko’chirish natijasida quyidagi 3ta sodda ko’rinishlardan biriga keltiriladi: λ1X2+ λ2Y2+a1100=0, (I) λ1X2+2a120Y=0 (yoki λ2Y2+2a110X=0) (II) λ1X2+a1=0 (yoki λ2Y2+b1=0). (III) 2.3.2. Ikkinchi tartibli chiziqlar tasnifi. Agar (2.3.1) umumiy tenglamaga ega bo’lgan 2-tartibli chiziq bir juft (haqiqiy yoki kompleks) to’g’ri chiziqlarni ifodalasa, u holda (2.3.1) tenglamaning chap tomonidagi 2-darajali ikki noma’lumli ko’phad ikkita 1-darajali ikki noma’lumli uch hadlar ko’paytmasidan iborat bo’ladi va aksincha. Bir juft to’g’ri chiziqlarni ifodalaydigan 2-tartibli chiziqni buziladigan yoki bir juft to’g’ri chiziqlarga ajraladigan chiziqlar deyiladi. (2.3.1) 2-tartibli chiziqning buziladigan chiziq bo’lishi yoki bo’lmasligi J3 invariantning ((2.1.2)ga qarang) nolga teng yoki teng emasligiga bog’liq. Boshqacha aytganda quyidagi teorema o’rinli: 2-tartibli (2.3.1.) chiziq buzilgan chiziq bo’lishi uchun J3=0 bo’lishi zarur va yetarli. Demak, bu teorema J3 invariantning geometrik ma’nosini ochib beradi. J1 va J2 invariantlarning geometrik ma’nosi bilan yuqorida tanishgan edik. Endi, (2.3.1.) tenglama qanday turdagi chiziqlarni ifodalashini ko’raylik. 2.3.1punktda ko’rganimizdek, (2.3.1.) tenglama (I), (II) yoki (III) ko’rinishdagi tenglamalardan biriga keltiriladi. Bu tenglamalardagi koeffitsiyentlarning ishoralariga qarab (yoki J1, J2, J3 invariantlarning ishoralariga qarab), 2-tartibli chiziqlarni tasnif qilamiz: λ1X2+ λ2Y2+a//00=0 (I) (I) tenglamaga ega bo’lgan chiziqlar uchun J1=a11+a22= λ1+ λ2 , J2=a11a22-a122= λ1*λ2≠0, (I) tenglamaga ega bo’lgan markazli (J2≠0) chiziqlarni quyidagi jadvalda keltiramiz:
2-jadval.
№λ1λ2 J2J3Kanonik tenglamasi.Chiziqning nomi.1++-+-x2/a2+Y2/b2=1. a2=-J3/ λ1J2, b2=-J3/ λ2 J2Ellips. --+++2+++++x2/a2+Y2/b2=-1. a2=J3/ λ1J2, b2=J3/ λ2 J2Mavhum ellips.---+-3++0+0x2/a2+Y2/b2=0 a2=1/ b2=1/ Nuqta (kesishuvchi mavhum to’g’ri chiziqlar)--0+04+-+--x2/a2-Y2/b2=-1 a2=J3/ λ1J2, b2=-J3/ λ2 J2 x2/a2-Y2/b2=1 a2=-J3/ λ1J2, b2=J3/ λ2 J2
Giperbola--+++--+----+-
+5+-0-0x2/a2-Y2/b2=0
a2=1/ b2=1/ Bir juft kesishuvchi to’g’ri chiziqlar.-+0-0 Jadvaldagi “+” ishora koeffitsientlarning musbat qiymatini, “-” ishora esa manfiy qiymatini, “0” esa ularning no’lga tengligini bildiradi. λ1X2+2a/00Y=0 (yoki λ2Y2+2a/10X=0) (II)
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lgan chiziqlarni tekshiraylik. Bunday chiziqlar uchun J1=λ1≠0(yoki J1=λ2≠0), J2=0, 3-jadval. №Λ1λ2 J3Kanonik tenglamasi.Chiziqning nomi.1±0± x2=-2pY, Parabola.2 0±±x2=2pY, Parabola.30±± Y2=-2px, Parabola.40 ±±Y2=2px, Parabola. Yuqoridagiga o’xshash λ1x2+a/=0 (yoki λ2Y2+b/=0) (III) tenglamaga ega bo’lgan chiziqlarni tasnif qilaylik. (III) tenglama uchun J1=λ1≠0 a20/=0 (yoki J1=λ2≠0,a10/=0), J2=0, J3=0 ( ). 4-jadval. №λ1λ2a/b/Kanonik tenglamasiChiziqning nomi.1±0 x2-a2=0, a2=-a//λ1­ Y2-b2=0, b2=-b// λ2 Bir juft parallel haqiqiy to’g’ri chiziqlar.0± 2±0±x2+a2=0, a2=a//λ1­ Y2+b2=0, b2=b// λ2 Bir juft mavhum parallel to’g’ri chiziqlar.0±±3≠000x2=0­ Y2=0Ustma-ust tushuvchi bir juft haqiqiy to’g’ri chiziqlar.0≠00 Shunday qilib, 2,3,4- jadvallardan ko’rinadiki, ikkinchi tartibli chiziqlar hammasi bo’lib to’qqizta turga ega, xolos. Boshqa turdagi 2-tartibli chiziq mavjud emas.
B. Masalalar yechish.
111-masala. To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida 5x2+y2+10x-6y-6=0 chiziq berilgan. Koordinatalar boshini parallel ko’chirish bilan berilgan chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltiring, chiziqni yasang. Yechish. tenglama koeffitsiyentlari: a11=5, a12=0, a22=1, a10=5, a20=-3, a00=-6. Berilgan chiziq qanday tipdagi chiziq ekanligini aniqlash mumkin. Buning uchun J1, J2 va J3 invariantlarning qiymatlarini va ishoralarini aniqlash kerak.
J1=a11+a22=6>0, J2=a11*a22­-a212 =5>0.
Demak, berilgan chiziq elliptik tipidagi markazli (J2>0), buzilmaydigan (J3=-100<0) chiziqdir. Bundan tashqari J3/J1=-100/6<0, ya’ni J3 va J1 lar qarama – qarshi ishoralarga ega. Shuning uchun berilgan chiziq haqiqiy ellipsdir. Endi, bu ellipsning berilgan umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz. a12=a21=0 bo’lganligi uchun Ox va Oy koordinat o’qlari berilgan chiziqning bosh diametrlari (o’qlari) ga paralleldir. Demak, koordinatalar boshi O ni berilgan chiziqning markaziga ko’chirish kifoya. Bu ishni esa ikki xil usulda bajarish mumkin: chiziq markazini aniqlash va bu nuqtaga O nuqtani parallel ko’chirish mumkin yoki praktikada ko’p qo’llaniladigan quyidagi usuldan foydalanish mumkin: koordinatalar boshini parallel ko’chirish formulasi dan foydalanish mumkin. Bu formulada x0, y0 lar O/XY yangi koordinatalar sistemasini O/ koordinatalar boshining eski Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan koordinatalaridir (chiziq markazining koordinatalari).ni berilgan chiziq tenglamasiga qo’yamiz:
5(X-x0)2+(Y-y0)2+10(X-x0)-6(Y-y0)-6=0.
Bu yerda ko’rsatilgan amallarni bajarib, o’xshash hadlarini ixchamlasak, u holda 5x2+Y2-10(x0-1)X-2(y0+3)Y+(5x20+y20-10x0+6y0-6)=0 (2) tenglamani hosil qilamiz. (2) tenglamada x0 va y0 larni shunday tanlaymizki, natijada bu tenglamada X va Y o’zgaruvchilarning 1-darajalari qatnashmasin. Demak, x0-1=0 va y0+3=0 bo’lishi kerak. Oxirgi tengliklardan x0=1, y0=-3 larni olamiz. Bu holda 5x20+y20-10x0+6y0-6=5+9-10-18-6=-20. Shunday qilib, berilgan chiziq (ellips) ning O/XY to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi (kanonik sistema) dagi tenglamasi (2) ning ko’rinishi 5X2+Y2-20=0 (3) bo’ladi. (3) tenglamadan esa izlanayotgan kanonik tenglamani hosil qilamiz: . (4) Topilgan kanonik tenglamadan foydalanib, berilgan ellipsni yasaymiz. Buning uchun, dastlab O/XY kanonik sistemani aniqlaymiz. (36-chizma), bu sistemada yarim o’qlari a=2, bo’lgan ellipsni yasaymiz (1.2.2. punktga qarang).
36-chizma.
(4) kanonik tenglamani 2-jadval yordamida ham tuzish mumkin. Buning uchun ellipsning yarim o’qlari kvadratlarini hisoblash va o’rniga qo’yish etarlidir.
a2=-J3/λ1J2=-(-100)/5*5=4,
b2=-J3/λ2J2=100/1*5=20.
Bu yerda λ1=5=a11 va λ2=1=a22 tenglikdan foydalandik.
112-masala. ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini koordinat o’qlarini burish yordamida kanonik shaklga keltiring. Berilgan chiziqni yasang.
Yechish. Bu erda a11=0, a12=a21=- , a22=1,a10=0, a20=0, a00=-6.
J1=a11+a22=1, J2=a11*a22-a212=-(- )2=-3/4<0. ko’ramizki, berilgan chiziq markazli, giperbolik tipidagi chiziqdir (J2<0). a10=a20=0 ekanligidan berilgan chiziq markazi koordinatalar boshida yotadi, lekin a12≠0 bo’lganligi uchun Ox va Oy o’qlari chiziqning bosh diametrlariga parallel emas. Shuning uchun berilgan chiziq tenlamasini kanonik shaklga keltirish uchun dekart sistemasining o’qlarini O nuqta atrofida α burchakka burish kifoya.
Quyidagi tartibda ish ko’ramiz:
Berilgan chiziq harakteristik tenglamasinining ildizlarini aniqlaymiz:
4λ2-4λ-3=0,
2) , yani OXY yangi koordinatalar sistemasining koordinat vektorlari koordinatalari ( bazisga ko’ra) aniqlaymiz:
Demak, Olingan natijalardan ko’rinadiki, α=-600. Burish formulasiga ko’ra, Oxy sistemadan OXY sistemaga formula yordamida o’tiladi. Oxirgi tengliklarni berilgan chiziq tenglamasiga qo’yamiz:
Bundan ba’zi elementar soddalashtirishlardan so’ng izlanayotgan kanonik tenglamani xosil qilamiz:
Demak, berilgan chiziq giperbola bo’lib, uning fokal o’qi-OX, mavhum o’qi esa OY o’qidan iborat. Giperbolaning kanonik tenglamasidan foydalanib, uni OXY koordinatalar sistemasida yasaymiz (37-chizma). Y 37-chizma.
37-chizmada giperbolaning F1, F2- fokuslari, A1, A2- uchlari bo’lib, bu nuqtalar OXY sistemaga nisbatan F1(4,0), F2(-4,0), A1(2,0), A2(-2,0) koordinatalarga ega. Giperbola asimptotalari Oxy eski koordinatalar sistemaida esa giperbola fokuslari va uchlari: koordinatalarga ega. Asimptotalari: y=0 va .113-masala. 2-tartibli chiziq o’zining x2-2xy+y2+2x+2y-4=0 umumiy tenglamasi bilan berilgan. Bu chiziqning turini aniqlang, uning tenglamasini kanonik shaklga keltiring va yasang.
Yechish. Bu yerda a11=1, a12=a21=-1, a22=1,a10=a01=1, a20=a02=1, a00=-4,
J1=a11+a22=2, J2=a11*a22-a212=0,


ADABIYOTLAR:
1. T.Jo`raev va boshqalar. “Oliy matematika asoslari”. 1–qism, “O`zbekiston”, T. 1995
2. T.Shodiev. “Analitik geometriyadan qo`llanma”, “O`qituvhi”, T. 1973
3. B.A.Abdalimov. “Oliy matematika”, “O`qituvhi”, T. 1994
4. V.E.Shneyder va boshqalar. “Oliy matematika qisqa kursi” 1–qism, “O`qituvchi”, T. 1985