Space tensor product

---

 Space tensor product. 
 
3.1. Тензорные произведения пространств. 
Пусть 
- конечная 
последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, 
- 
некоторый ортонормированный базис в 
Н
к
. 
Образуем формальное произведение 
(3.1.) 
α = (α
1
,…, α
n
) 
(
n
раз), то есть рассмотрим упорядо- 
ченную последовательность (
) и на формальные векторы (3.1.) 
натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- 
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство 
называется тензорным произведением пространств 
Н
1
,…, 
Н
n
и обозначается 
Н
1
,…, 
Н
n
= 
. Его векторы имеют вид: 
f
 
= 
(
f
α
C
), || 
f
 
||
2
=
< ∞ (3.2.) 
Пусть 
g
 
= 
, тогда скалярное произведение опреде- 
ляется формулой 
(f, g)
= 
(3.3.) 
)
(
1
Hк
n
k

)
(
)
(
0
e
к
j
j


e
e
e
n
n
)
(
)
1
(
...
1







Z
Z
Z
n






...
e
e
n
n
)
(
)
1
(
...
1






n
k
1
Hк



Z
n
e
f







Z
n
f


|
|
2



Z
n
e
g






n
k
1
Hк



Z
n
g
f




---

Пусть 
f
(k)
 
= 
(
к
= 1,…, n) – некоторые векторы. По 
определению 
f
= 
f
(1)
…
 
f
(n)
= 
(3.4.) 
Коэффициенты 
f
α
= 
разложения (3.4.) удовлетворяют условию 
(3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит 
, при этом 
|| 
f
|| = 
(3.5.) 
Функция 
Н
1
,…, 
Н
n
<
> 
линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка 
L 
векторов (3.4.) плотна 
в
- эта линейная оболочка называется алгебраическим 
(непополненным) тензорным произведением пространств 
Н
1
,…, 
Н
n
и 
обозначается α. 
Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора 
ортогонального базиса 
в каждом сомножителе 
. При изменении 
базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей 
структуры исходному произведению.
 



0
)
(
)
(
j
k
j
k
j
e
f

Hк
 



Z
n
n
e
f
f
n




)
(
)
1
(
...
1
f
f
n
n
)
(
)
1
(
...
1




n
k
1
Hк


n
k
f
k H
k
1
||
||



f
f
n
)
(
)
1
(
...

f
f
n


...
)
(
)
1
(



n
k
1
Hк


n
k
1
Hк


n
k
1
Hк
)
(
)
(
0
e
к
j
j


Hк

---

Пусть 
Н
1
и 
Н
2
– гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда 
конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается 
линейная оболочка 
L
формальных произведений 
f
1
 
f
2
, причем считается, что 
(
f
1
 + g
1
)
 
f
2
 = f
1
 
f
2
 + g
1
 
f
2
(3.6.) 
f
1
 
(
f
2
 + g
2
) = 
f
1
 
f
2
 + f
1
 
g
2

(3.7.) 
(λ 
f
1
)
 
f
2
=
λ (
f
1
 
f
2
) (3.8.) 
f
1
 
λ (
f
2
) = λ (
f
1
 
f
2
) (3.9.) 
f
1
,
 g
1
Н
1
; 
 
f
2
,
 g
2 
Н
2
; λ 
С
. 
Иными словами, линейное пространство 
L
факторизируется по его 
линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие 
вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.). 
Затем вводится скалярное произведение в 
L
. 
(
f
1
 
f
2
 
, g
1
 g
2
 
) = (
f
1
 g
1
)(
f
2
 g
2
) (3.10.) 
f
1
,
 g
1
Н
1
; 
 
f
2
,
 g
2 
Н
2
, 
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного 
L
билинейным образом. 
3.2. Тензорные произведения операторов. 
Определим тензорное 
произведение ограниченных операторов. 


















I
i


---

Теорема 3.1. Пусть 
, 
- две последовательности гильбер- 
товых пространств, 
- последовательность операторов 
А
к
L
(
Н
к
, G
к
). 
Определим тензорное произведение 
А
1
 
…
А
n
 = 
А
к
формулой 
(
) 
f
= 
(
) = 
(3.11.) 
(
f
). 
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в 
и 
определяет оператор 
L 
(
,
), причем
|| 
|| = 
|| 
||
(3.12.) 
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу 
равенства 
Н
1
,…, 
Н
n
= (
Н
1
,…, 
Н
n-1
)
Н
n
 
общий случай получается по 
индукции. 
Пусть 
- некоторый ортонормированный базис в 
G
к
 
(к = 1, 2) и 
пусть 
g = 
 
G
1
 G
2
. В качестве
f 
возьмем вектор из 
Н
1
 Н
2
с 
конечным числом отличных от нуля координат 
f
α
.
 
)
(
1
Aк
n
k


 


n
k
1


n
k
1
Aк


n
k
1
Aк



Z
n
e
f








Z
n
n
e
A
e
A
f
n
n




)
(
...
)
(
)
(
)
1
(
1
1



n
k
1
Hк


n
k
1
Gк


n
k
1
Aк



n
k
1
Hк


n
k
1
Gк


n
k
1
Aк


n
k
1
Aк





)
(
)
(
0
l
к
j
j






Z
l
l
g
2
2
1
)
2
(
)
1
(








---

Зафиксируем α
2
, β
1 
Z
+
и обозначим через 
f
(α
2
) 
Н
1
 
вектор 
f
(α
2
) = 
и через 
g
(β
1
)
G
2
 – 
вектор 
g
(β
1
) =
. Получим 
= 
= 
= 
≤ 
= 
= 
≤ 
= 
= 
Из этого неравенства следует слабая сходимость в 
G
1
G
2
 
ряда 
уже при произвольном
c 
Н
1
Н
2
 
и оценка его нормы в 
G
1
G
2
 
сверху через ||
A
1
|| ||
A
2
|| ||
f
||. Таким образом, оператор 
A
1
 A
2
: 
Н
1
 Н
2
→
G
1
G
2
 
определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не 
превосходит ||
A
1
|| ||
A
2
||. 
Из (3.5.) и (3.11.) следует 
||(
A
1
 A
2
) (
f
1
 
f
2
)|| = ||
A
1
 
 
f
1
||
 
||
A
2
 
f
2
|| (
f
к
 
Н
к
 
, к = 1, 2) 





0
)
1
(
1
1



e
f




0
)
2
(
2
2



l
g










g
e
A
e
A
f
Z
2
,
2
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1










Z
l
e
A
l
e
A
g
f
2
,
)
2
(
2
)
2
(
2
2
)
1
(
1
)
1
(
1
1
,
,
2






























0
2
0
1
)
2
(
2
1
2
)
1
(
2
2
1
),
(
*
),
(
2






e
g
A
l
f
A
 
 





















0
0
0
0
2
2
2
1
2
1
)
2
(
2
1
2
)
1
(
1
2
1
,
)
(
*
),
(
 
 




e
g
A
l
f
A






0
2
0
2
1
2
)
(
*
)
(
1
2
2
1




g
A
f
A






0
2
0
2
2
2
1
2
)
(
)
(
*
1
2
2
1




g
f
A
A






Z
Z
g
f
A
A
2
2
2
2
2
2
2
1









Z
e
e
A
f
2
2
1
)
)
(
)
2
(
)
1
(
1














---

Подбирая должным образом орты 
f
1
, 
f
2
последнее произведение можно 
сделать сколь угодно близким к ||
A
1
|| ||
A
2
||, поэтому неравенство ||(
A
1
 A
2
)|| ≤ 
||
A
1
|| ||
A
2
|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано. 
Из (3.11.) получаем для
А
к
L
(
H
к
, 
G
к
),
В
к
L
(
H
к
, 
G
к
) (к = 1,…, n) 
соотношения 
(
В
к
) (
А
к
) = 
(
В
к
 А
к
) (3.13.) 
(
А
к
)* = 
А
к
*

(3.14) 
(

А
к
) (
f
1
 
…
 
f
n
) = 
A
1
 
 
f
1
…
A
n
 
 
f
n
(3.15.) 
(
f
к
H
к
; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор 
А
к
. 
Приведем пример. Пусть 
H
к
= 
L
2
(
(0,1), 
d
(
m
к
)) = 
L
2 
 
Действительно, вектору вида (3.1.)
 
поставим в соответствие функцию 
L
2
. Такие функции 
образуют ортонормированный базис пространства 
L
2
, поэтому такое 
соответствие порождает требуемый изоморфизм между 
и 
L
2
. 





n
k
1


n
k
1


n
k
1


n
k
1


n
k
1


n
k
1


 



n
k
1



n
k
1
e
e
e
n
n
)
(
)
1
(
...
1









n
k
1
Hк
)
(
)...
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
x
e
x
e
e
n
n
n
x







n
k
1
Hк