Решение : Обозначим данное число буквой а и возведём обе части полученного равенства в куб. + = а ( + ) 3 = а 3

Пример 1: 2,3(42) = 2 + + = .
Число – также является рациональным, так как
– = – = – =
= – = – = 1  Q.
При выяснении вопроса о рациональности выражений, содержащих радикалы полезно применять следующую теорему, известную из курса алгебры.
Пример 2: Доказать, что число + – рационально.
Решение: Обозначим данное число буквой а и возведём обе части полученного равенства в куб.
+ = а
( + )³ = а³
10 + 6 + 3( )² + 3 ( )² + 10 –6 = а³
20 + 3 ( + ) = а³
Заметим, что выражение в скобках равно исходному числу, то есть а. Заменим его, а также запишем выражение перед скобками под общим корнем и применим формулу сокращённого умножения:
20 + 3 а = а³
20 + 3 а = а³
20 + 3 а = а³
20 + 3 а = а³
20 – 6а = а³
а³ + 6а – 20 = 0.
По теореме 5, если данный многочлен имеет рациональный корень, то его числитель будет делителем числа 20 (это могут быть 1, 2, 4, 5, 10, 20), а знаменатель – делителем старшего коэффициента, то есть в нашем случае единицы (так как знаменатель должен быть числом натуральным, единственным возможным знаменателем является 1). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что а = 2 является корнем данного уравнения. Далее
а³ + 6а – 20 = а³ – 8 + 6а – 12 = (а – 2)(а² + 2а + 4) + 6 (а – 2) =
= (а – 2)( а² + 2а + 10)
Второй множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому других действительных корней у многочлена а³ + 6а – 20 (отметим, что разложение можно было бы получить делением многочлена а³ + 6а – 20 на а – 2). Число же а = + является действительным, поэтому
а = + = 2  Q.
Тот же результат можно было бы получить и свернув подкоренные выражения по формулам куб суммы и куб разности.

Задания для самостоятельного решения

№ 1. Доказать свойства рациональных чисел:
а) с = ; б) : с = .
№ 2. Доказать, что число рационально
а) + ; д)  ;
б) + ; е) – ;
в) + ; ж) ( + ) ;
г) – ; з) .
№ 3. Вычислите:
а) ;
б) .
№ 4. Представьте периодическую дробь в виде несократимого отношения двух целых чисел:
а) 0,233(37); б) 9,(387);
в) 11,(459); г) 7,4(099).