Referat haqida toliq malumot



Download 30.41 Kb.
Sana27.09.2019
Hajmi30.41 Kb.
TuriReferat
Referat haqida toliq malumot:




Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash

Quyidagi ikki ko`phadning nisbati kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi:


(9,1)
bunda m, n — musbat butun sonlar, ai bj є R (i =0,.., n, j = 0,.., m).
Agar m n bo`lsa, noto`gri ratsional kasr deyiladi.
Har qanday noto`gri kasrning suratini maxrajiga bo`lish natijasida uni biror ko`phad va to`gri kasr yig`indisi shaklida yozish mumkin:
(9,2)
Kasirning maxrajini ko`paytuvchilarga ajrati bo`lsa, uni
(9,3)
ko`rinishdagi sodda (elementar) kasrlarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkin, bunda a – lar Pn(x) ning haqiqiy ildizlari va dir. 
Masalan, noto`gri kasrning suratini maxrajiga ko`phadni ko`phadga bo`lish qoidasi bilan bo`lsak, quyidagiga ega bo`lamiz:

Har qanday ko`phad oson integrallanadi va ratsional funktsiyani integrallash to`gri kasrni integrallashga keltiriladi. Shuning uchun ratsional funktsiyalarning m with(genfunc):


factor(x^3+1);
> with(genfunc):factor((x-1)/(x^3+1));

Kasrni sodda kasrlarga ajratish:


> rgf_pfrac((x-1)/(x^3+1),x);

2-misol. ni sodda ratsional kasrlar yig`indisi ko`rinishiga keltiring.


x4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2.
(3) ga asosan quyidagicha:

Noma`lum koeffitsientlarni x ga ma`lum qiymatlar berish yo`li bilan ham topish mumkin bo`lib, ko`p hollarda bu qulaylik tug`diradi. 


Oxirgi tenglikda:
x=0 desak, 1=A10+A21+A30+A40  A2 =1;
x=–1 desak, 1=A10+A20+A30+A41  A4 =1;
x=1 desak, 1=4A1+4A2+2A3+A4  4A1+2A3 = –4;
x=–2 desak, 1=–2A1+A2 –4A3+4A4  –2 A1–4A3 = –4;

A1=–2, A2=1, A3=2, A4=1.


Demak, berilgan kasirni sodda ratsional kasirlarga ajratilgan ko`rinishi quyidagicha:

Kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish:


> with(genfunc):factor(x^4+2*x^3+x^2); 
> with(genfunc):factor(1/(2*x^4+3*x^3+x^2));

Kasrni sodda kasrlarga ajratish:


> rgf_pfrac(1/(x^4+2*x^3+x^2),x);

Shunday qilib, to`g`ri ratsional kasrni integrallash masalasi, (12.3) yoyilmaga ko`ra, integrallanishi jihatidan bir-biridan farq qiladigan quyidagi to`rt xil sodda (elementar) ratsional kasrlarni integrallash masalasiga keltiriladi:


;
bu yerda A0,B0,C0, a,p va q lar berilgan sonlar: 2nN, p 2–4q Int(A0/(x-a),x)=int(A0/(x-a),x);

2) .
> Int(A0/(x-a)^n,x)=int(A0/(x-a)^n,x);

3) 

> Int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x)=int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x);



4) 

bu yerda .


Oxirgidan ko`rinadiki, agar 

ko`rinishdagi integrallarni ololsak, masala haldir. Agar bu integralda m=1 desak, 


bo`ladi.
Endi, bo`lgan holni qaraylik.

Oxirgi integralni bo`laklab integrallaymiz: 


Demak, 


rekkurrent (qaytma) formulani olamiz.
Endi, m=2,3,…,n qiymatlarni berish natijasida Jn ni topamiz.
Shunday qilib, berilgan ratsional kasrning, yuqoridagi usullar bilan, integralini topa olamiz, ya`ni ratsional kasr integrali elementar funksiyadan iborat bo`lar ekan.
> restart;
> Ik2:=int(1/(t^2+a^2)^m,t); 
> m:=1:value(Ik2);
> m:=2:value(Ik2);
> m:=3:value(Ik2); 
> m:=4:Ik2:=value(Ik2);

> m:=4:a:=1:Ik2:=value(Ik2);

n=2,3 bo`lganda integralini formula asosida topish.

1) > restart;


> Ik3:=int((A*(t-p/2)+B)/(t^2+a^2)^m,t);

> m:=2:Ik3:=value(Ik3);

> m:=3:Ik3:=value(Ik3);

2) > A:=4:B:=5:p:=6:q:=25:a:=sqrt(4*q-p^2)/2:


> with(student):
> changevar(t=x+p/2, (Ik3, t), x);

3) n=2,3 bo`lganda bevosita topish.

> restart;
> Ik4:=int((4*x+5)/(x^2+6*x+25)^2,x);

> Ik5:=int((4*x+5)/(x^2+6*x+25)^3,x);

3-misol. integralni toping.
Yechish: 
hosil bolgan tenglikning chap va o`ng ko`phadlarining darajalari bo`icha mos koeffitsientlarni tenglashtirib quyidagi sistemani tuzamiz: 

Sodda kasirlarning koeffitsientlarni topish va integrallash:


> restart;
> f:=x->(1-x^3)/(x^5+x^2);
> y1:=x->A1/x+A2/x^2+A3/(x+1)+(A4*x+A5)/(x^2-x+1);

> p:=simplify(y1(x));

> pol1:=f(x)*(x^5+x^2); pol2:=p*x^2*(x+1)*(x^2-x+1);
> kp0:=coeff(pol1,x,0)=coeff(pol2,x,0);
> kp1:=coeff(pol1,x,1)=coeff(pol2,x,1);
> kp2:=coeff(pol1,x,2)=coeff(pol2,x,2);
> kp3:=coeff(pol1,x,3)=coeff(pol2,x,3);
> kp4:=coeff(pol1,x,4)=coeff(pol2,x,4);

> k:=solve({kp0,kp1,kp2,kp3,kp4},{A1,A2,A3,A4,A5});

> A1:=0; A4:=-2/3; A3:=2/3; A5:=-2/3; A2:=1;y1(x);

> int(y1(x),x);

Topilgan koeffitsientlar asosida berilgan kasirni sodda kasirlarga ajratilgan ko`rinishin yozamiz: 

Bebosita sodda kasirlarga ajratish:


> factor(x^5+x^2); 
> with(genfunc): rgf_pfrac((x^6+1)/(x^5+x^2), x);
> Int((x^6+1)/(x^5+x^2), x)=int((x^6+1)/(x^5+x^2),x);

Ba`zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash


1. integralda R o`z argumentlarining ratsional funksiyasi bo`lsin. U holda, bu integralda umumiy trigonometrik almashtirish deb ataluvchi 
almashtirish yordamida ratsional funksiya integraliga kelinadi. Haqiqatdan ham,

ekanligini e`tiborga olsak,


,
bu yerda - ratsional funksiya.
1-misol. Bu almashtirish yordamida integrallar jadvalidagi 16-formulani keltirib chiqarish mumkin:

17-formula esa ekanligidan va 16-formuladan kelib chiqadi.


2-misol. integralni toping.
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.

> restart;


> with(student):
IA13:=changevar(x=2*arctan(t),Int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x),t);

> IA13:=value(%);

> IA13:=changevar(t=tan(x/2), (IA13, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x)=int(1/(1+sin(x)+cos(x)),x);

2. = , R sinx ga nisbatan toq ratsional funksiya.


Bu yerda ham umumiy almashtirishdan yoki qulayroq bo`lgan cosx=t dan foydalanish mumkin.
3-misol. bu integral sinx ga nisbatan toq:
= = - 
yordamida integralni cosx=t almashtirish bilan topamiz.


1) o`zgaruvchini cosx=t kabi almashtirish bilan integralni topish.


> restart;
> with(student):
> IT4:=changevar(cos(x)=t,Int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x),t);

> IT4:=value(%);


> IT4:=changevar(t=cos(x), (IT4, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x)=int(sin(x)^3/(cos(x)-3),x);

= integralda R cosx ga nisbatan toq ratsional funksiya. 


Bu integral uchun ham yuqoridagi umumiy almashtirishni qilib ratsional funksiya integraliga kelish mumkin. Ammo, bu yerda sinx=t almashtirish (o`rniga qo`yish) qulayroq, chunki cosxdx=d(sinx) dir.

4-misol. bu integral cosx ga nisbatan toq:


= = - 
1) o`zgaruvchini sinx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT5:=changevar(sin(x)=t,Int(cos(x)^3/sin(x)^4,x),t);

> IT5:=value(%);


> IT5:=changevar(t=sin(x), (IT5, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(cos(x)^3/sin(x)^4,x)=int(cos(x)^3/sin(x)^4,x);

integralda R- o`z argumentlarining ratsional funksiyasi


bo`lib, sinx va cosx larga nisbatan juft funktsiya bo`lsa: 

Quyidagich almashtirish qilamiz.


5-misol. da juft bo`lgani uchun integralni tgx=t almashtirish yordamida topamiz.

1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.


> restart;
> with(student):
> IT8:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(1+cos(x)^2),x),t);

> IT8:=value(%); 


> IT8:=changevar(t=tan(x), (IT8, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(1/(1+cos(x)^2),x)=int(1/(1+cos(x)^2),x);

6-misol. da sinx va cosx larga nisbatan juft funktsiya bo`lgani uchun integralni tgx=t almashtirish yordamida topamiz.

Ekanini etiborga olib,
=

1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT9:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(sin(x)^2-
4*sin(x)*cos(x)+ 5*cos(x)^2),x),t);

> IT9:=value(%); 


> IT9:=changevar(t=tan(x), (IT9, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(1/(sin(x)^2-4*sin(x)*cos(x)+5*cos(x)^2),x)= int(1/(sin(x)^2-4*sin(x)*cos(x)+5*cos(x)^2),x);

5. , R –ratsional funksiya. umumiy almashtirishdan foydalanish mumkin. Ammo qulayroq bo`lgan 

almashtirishdan foydalansak,

ga kelamiz, bu yerda - ratsional funksiya. 


7-misol. | |= 
= =
=|t=tgx|= 
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT7:=changevar(tan(x)=t,Int(1/(tan(x)+1),x),t);

> IT7:=value(%); 


> IT7:=changevar(t=tan(x), (IT7, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(1/(tan(x)+1),x)=int(1/(tan(x)+1),x);
8-misol. | |= 
= =|t=tgx|= 
1) o`zgaruvchini tgx=t almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT10:=changevar(tan(x)=t,Int(tan(x)^3,x),t);

> IT10:=value(%); 


> IT10:=changevar(t=tan(x), (IT10, t),x);

2) Bevosita integrallash.


> restart;
> Int(tan(x)^3,x)=int(tan(x)^3,x);

9-misol. tgx=t almashtirish yordamida integralni topish


> restart;
> with(student):
> IT12:=changevar(tan(x)=t,int(tan(x)^5,x),t);

> IT12:=changevar(t=tan(x), (IT12, t),x);

10-misol. bu integralni topishda yuqoridagilardan farqli quyidagicha almashtrish qilamiz: 

Bu holda 



1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT13:=changevar(2+3*sin(2*x)=t,
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x),t);

> IT13:=changevar(t=2+3*sin(2*x), (IT13, t),x);

2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x)=
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x);

3. Sinus va kosinus toq darajali bo`ganda integrallash

a) 
bu yerda t=cosx.
b) 
bu yerda t=sinx.
> restart;
> IT3m:=Int(sin(x)^(2*m+1),x)=int(sin(x)^(2*m+1),x);

> m:=1:IT3m; 


> m:=2:IT3m;

11-misol.. integralni hisoblang.


YEchish. va ekanligini hamda
almashtirish kiritib, quyidagini hosil hilamiz: 

> restart;


> IT5m:=Int(sin(x)^3*cos(x)^4,x)=int(sin(x)^3*cos(x)^4,x);

4. Sinus va kosinus juft darajali bo`ganda integrallash

Bunday integralda darajani pasaytirish formulalaridan foydalanish mumkin:
a) ;
b) .
12-misol. 

.
> restart;


> IT2m:=Int(sin(x)^(2*m),x)=int(sin(x)^(2*m),x);
> m:=1:IT2m; 

> m:=2:IT2m;

13-misol. integralni hisoblang.
YEchish. Trigonometrik funktsiyalarning darajalarini pasaytirish formulalaridan foydalanib, quyidagi natijaga kelamiz: 

> restart;


> Int(sin(x)^2*cos(x)^4,x)=int(sin(x)^2*cos(x)^4,x);

5. Asosiy trigonometrik funksiyalarning darajalari ixtiyoriy butun ko`rsatkichli bo`lganda integrallash


a) deyilik.
Bu integralda n=–2;–1;0;1 bo`lsa, jadval integrallarini olamiz, ya`ni

(1)

Aytaylik, n ning qiymati bu ko`rilgan qiymatlardan farq qilsin, u vaqtda,

ni bo`laklab integraliaymiz:

.
Buni Sn ga nisbatan yechib, 
n=2,3,… (2)
ga nisbatan yechib esa,
, n=-1,-2,… (3)
rekkurrent formulalarni olamiz. Bu (2) va (3) lar yordamida (1) ni hisobga olgan holda nZ uchun Jn integrallarni topa olamiz.
b) , (n Z) bo`lsin.
Bu integral n= –2; –1; 0; 1 bo`lganda jadval integrallaridir, ya`ni
(4)
Endi n ning boshqa butun qiymatlarini qaraymiz. Oldingi banddagidek ishlarni bajarib,
(5)
(6)
rekkurrent formulalarni olamiz.
c) deylik
T-1¬ =ln|sinx|+C, T0=x+C, T1 = – ln |cosx|+C (7)
jadval integrallaridir.

Bundan 
n=2,3,… (8)


yoki
n= 0,-1,-2,… (9)
rekkurrent formula larni olamiz.
14-misol. 1) 

> restart;


> IT5m:=Int(sin(x)^(-(2*m+1)),x)=int(sin(x)^(-(2*m+1)),x);

> m:=1:IT5m;

> m:=2:IT5m;

2) 
> restart;


> IT4m:=Int(cos(x)^(-2*m),x)=int(cos(x)^(-2*m),x);

> m:=1:IT4m;

> m:=2:IT4m;

3) 
a) > restart;


> IT7m:=Int(cot(x)^(-2*m-1),x)=int(cot(x)^(-2*m-1),x);

> m:=1:IT7m;

b) > restart;
> IT8m:=Int(tan(x)^(2*m+1),x)=int(tan(x)^(2*m+1),x);

> m:=1:IT8m;

> m:=2:IT8m; 
ADABIYOTLAR:

1. T. Jo`rayev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. T. «O`zbekiston», 1995 y. I, II qism.


2. Y. U. Soatov. Oliy matematika. T. «O`qituvchi», 1994 y. I qism.
3. SH.I. Tojiyev. Oliy matematikadan masalalar yechish. T.,”O`zbekiston”, 2002 y
4. A.G. Kurosh. Kurs visshey algebri. M. «Nauka». 1971 g.
5. Fixtengols G.M. Differensial va integral hisob kursi. I tom. T.1951y.
6. Uvarenkov I.M., Maler M.Z. Kurs matematicheskogo analiza. I tom. M. 1966 g.
7. Frolov S.V., Shostak R.Y. Kurs visshey matematike. I tom. M. 1973 g. 
8. L.S. Pontryagin. Obiknovenniye differensialniye uravneniya. M., «Nauka», 1970g.
9. N.S Piskunov. Differensialniye i integralnoye ischisleniye dlya 
10. VTUZ ov. M. Nauka, v 2 x chastyax, 1985 g. 
11. I.A Maron. Differensialniye i integralnoye ischisleniye v primerax i zadachax(funksii odnoy peremennoy) dlya VTUZ ov. M. Nauka, 1970 g. 
12. E.F. Fayziboyev, N.M. Sirmirakis. Integral hisob kursidan amaliy mashg`ulotlar. T. “O`qituvchi”, 1982 yil.
13. M.J.Mamajonov, A.Abdurazoqov va boshqalar. Oliy matematikadan ma`ruzalar to`plami. FarPi., 2008 y

Teglar: restart integrallash ratsional almashtirish integralni yordamida topish withstudent yerda mumkin Bevositasodda o96zgaruvchini nisbatan integralda olamiz funksiya trigonometrik uchun bilan
Download 30.41 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
o’rta maxsus
davlat pedagogika
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
guruh talabasi
samarqand davlat
toshkent axborot
nomidagi samarqand
toshkent davlat
haqida tushuncha
ta’limi vazirligi
xorazmiy nomidagi
Darsning maqsadi
vazirligi toshkent
Toshkent davlat
tashkil etish
Alisher navoiy
rivojlantirish vazirligi
Ўзбекистон республикаси
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
таълим вазирлиги
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
o’rta ta’lim
bilan ishlash
ta'lim vazirligi
fanlar fakulteti
махсус таълим
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
umumiy o’rta
Referat mavzu
fanining predmeti
haqida umumiy
Navoiy davlat
fizika matematika
universiteti fizika
Buxoro davlat
malakasini oshirish
davlat sharqshunoslik
Samarqand davlat