O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TOSHKENT MOLIYA INSTITUTI

«МАТЕМАТИКА» КАФЕДРАСИ


«OLIY MATEMATIKA» FANIDAN

Amaliy mashg‘ulot

TUZUVCHILAR: Dots.Muminova R., katta o‘qit. Turdaxunova S.

Toshkent- 2010

12. TEKISLIKDAGI TO’G’RI CHIZIQ TENGLAMALARI.

TO’G’RI CHIZIQNING NORMAL TENGLAMASI. NUQTADAN CHIZIQQACHA BO’LGAN MASOFA

1. 
   
   1 2 21
   ⁰ . Tekislikdagi A(x ; у ) va B(x ; у ) nuqtalar orasidagi masofa:
   

d= (1)

2. 
   
   1 2 21
   ⁰ . Tekislikda yo’naltirilgan kesmaning, yoki boshi A(x ;у ) va oxiri B(x ;у )
   

bo’lgan AB vektorning koordinata o’qlaridagi proyektsiyalari:

Pr_x AB =X=x ₂ -x₁ , Pr_у AB =У=у ₂ -у₁ (2)

3. 
   
   1 2 21
   ⁰ . Kesmani berilgan nisbatda bo’lish: A(x ;у ) va B(x ;у ) nuqtalar berilgan AB kesmani AN:NB= ^ nisbatda bo’luvchi N(x;у) nuqtaning koordinatalari ushbu:
   

_x= x₁  x_{2 , у=} у₁  у₁

(3)

1  1 

formulalar bilan aniqlanadi. Xususiy holda kesmani teng ikkiga, ya’ni

  1:1 1 nisbatda bo’lganda

_x= x₁  x_{2 , у=} у₁  у₂
(4)

2 2

4. 
   
   1 21
   ⁰ . Uchlari A(x ; у ), B(x ;
   

bo’lgan ko’pburchak yuzi:

у ₂ ), C(x ₃ ;

у ₃ ), …, F(x _n ; у _n ) nuqtalarda

S=  ^{1  x1}


у_{1 } x₂

^у2  ...  ^xn

у_n 
(5)

2 ^ x у x у x у ^

_ 2 2 3 3

ga teng.

1 1 _

5. 
   ⁰ . To’g’ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi:
   

у=kx+b (6)

k parametr to’g’ri chiziqning Ox o’qining musbat yo`nalishiga og’ish burchagi  ning tangensiga teng bo`lib (k=tg ), to’g’ri chiziqning burchak koeffitsenti, ba’zan qiyaligi deyiladi. b parametr boshlang’ich ordinata yoki Oy o’qdan ajratgan kesma kattaligi .

6. 
   ⁰ . To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi:
   

Ax+By+C=0 (A ² +B ²  0) (7)

Xususiy hollar:

1. 
   C=0 bo’lsa, y= - ^A x to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi;
   

B

2. 
   B=0 bo’lsa, x= - ^C =a to’g’ri chiziq 0y o’qqa parallel bo’ladi;
   

A

3. 
   A=0 bo’lsa, y= - ^C =b to’g’ri chiziq 0x o’qqa parallel bo’ladi;
   

B

4. 
   B=C=0 bo’lsa, Ax=0 yoki x=0 - to’g’ri chiziq 0y o’qdan iborat;
   
5. 
   A=C=0 bo’lsa, By=0 yoki у=0 - to’g’ri chiziq 0x o’qdan o’tadi. 7 ⁰ . To’g’ri chiziqning o’qlardan ajratgan kesmalari bo’yicha tenlamasi:
   

^x + ^y =1 (8)

a b

Bu yerda a va b - to’g’ri chiziqning o’qlardan kesgan kesmalarining kattaliklari.

8. 
   ⁰ . To’g’ri chiziqning vektor parametrli tenglamasi:
   

M ₀M =ts (9)

Bu yerda M(x;y) to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi


M ₀ M

(x-x ₀ ; y-y ₀ ) vektor

va s(m;n) yo’naltiruvchi vektori o’zaro kollinear, t-ixtiyoriy haqiqiy son yoki parametr.

8. 
   ⁰ . (9) tenglamani koordinatalarda
   

^{x  x0  tm}
(10)



0
^ y  y  tn
ifodalab, to’g’ri chiziqning parametrli tenglamasini hosil qilish mumkin.

10⁰ . (10) tenglamalarda t parametr yo’qotilsa, to’g’ri chiziqning kanonik teglamasi hosil bo’ladi:

x  x_{0 =} y  y₀

(11)

m n

11⁰ . Agar

a =P (P  0 ),  = ^a =(Cos , Cos  ) a normal radius vektorninig

P

birlik vektori bo’lib, to’g’ri chiziqning ixtiyoriy M(x;y) nuqtasining mos radius vektori r (x;y) bo’lsa, u holda r radius vektorning a yoki  vektordagi sonli proyektsiyasi P ga teng:

P r_


r =P, yoki 

P r_


r =P, yoki (r^.v)=P (P  0) (12)

Bu tenglama to’g’ri chiziqning vektor ko’rinishdagi tenglamasi deyiladi.

(12) tenglama koordinatalarda

xCos +yCos  =P yoki xCos +ySin =P (P  0) (13) ko’rinishni oladi. Bunda  - a yoki  vektorning Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak kattaligi. (13) shakldagi tenglama

to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi.

12⁰ . (7) shakldagi tenlamadan (13) shakldagi tenglamaga o’tish uchun umumiy ko’rinishdagi tenglama normallovchi ko’paytuvchi deb

ataladigan    ¹

songa ko’paytiriladi, bunda “+” yoki “–“ ishoradan

C ozod had ishorasining qarama–qarshisi tanlanadi, aks holda P= -  C 0 munosabat bajarilmaydi.

Masala: 3x+4y-8=0 tenglamani normal ko’rinishga keltiring .

Berilgan umumiy shakldagi tenglama uchun normallovchi ko’paytuvchi

  

Tenglamani,

1

  ¹

5

= ¹ .

5
ga ko’paytiramiz, natijada to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagi

ko’rinishda normal holga keltiriladi:

³ x + ⁴ у = ⁸ .

5 5 5

13⁰ . y=k₁x+b₁ to’g’ri chiziqdan y=k₂x+b₂ to’g’ri chiziqqacha soat strelkasiga qarshi yo’nalishda hisoblanuvchi  burchak

tg 

k₂  k₁

1 k₁ k₂

(14)

formula bilan aniqlanadi.

2 2 2
14⁰ . A₁x+B₁y+C₁=0 va A x+B y+C =0 tenglamalar bilan berilgan to’g’ri

chiziqlar uchun (14) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

_{tg } A₁B₂  A₂ B₁

A₁ A₂  B₁B₂
(15)

yoki

Cos  =

(16)

15⁰ . To’g’ri chiziqlarning parallellik sharti:

k ₁ =k ₂
yoki

A_{1 } B₁ A₂ B₂
(17)

16⁰ . To’g’ri chiziqlarning perpendikulyarlik sharti:

k ₁  k ₂ =-1 yoki A₁ A ₂ +B₁ B ₂ =0 (18)

17⁰ . Berilgan A(x₁;у₁) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi: у-y₁=k(x-x₁) (19)


1 2 21
18⁰ . Berilgan ikki A(x ;у ) va B(x ;у ) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq

tenglamasi:

у  у₁ у₂  у<sub>1

</sub> x  x₁ x₂  x₁
(20)

1 1 1
19⁰ . Parallel bo’lmagan ikki A x+B у+С =0 va A₂x+B₂у+С₂=0 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechish bilan

x= , у= (21)

ni hosil qilamiz.

20⁰ . (x ₀ ; у ₀ ) nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan d masofani topish uchun

to’g’ri chiziq normal tenglamasining chap tomonidagi o’zgaruvchi

koordinatalar o’rniga (x ₀ ;у ₀ ) koordinatalarni qo’yib, hosil bo’lgan sonning absolyut qiymatini olamiz, ya’ni

d= x₀ cos   у₀ sin   P
yoki d=

(22)
(23)

21⁰ . Ax+Bу+C=0 va

A x  B у  C  0

to’g’ri chiziqlar orasidagi burchaklar

1 1 1

bissektrissalarining tenglamalari:

Ax  Bу  C _{ } A₁ x  B₁ у  C₁

(24)

22⁰ . Berilgan ikki to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi:

(Ax  Bу  C)   (A₁x  B₁ у  C₁ )  0

(25)

  1 deb olish mumkin, u holda biz (25) dastadan berilgan to’g’ri

chiziqlardan ikkinchisini yo’qotgan bo’lamiz, ya’ni u vaqtda (25) dan ikkinchi to’g’ri chiziqning tenglamasini hosil qila olmaymiz.