Определение. Функция называется двойственной к функции, если. Если взять отрицание обеих частей равенства и подставить вместо переменных, то получится. Это означает, что функция двойственна к функции, и, таким образом

ТЕМА: Закон двойственности. Нормальные формы для формул.
Определение. Функция называется двойственной к функции , если .
Если взять отрицание обеих частей равенства и подставить вместо переменных , то получится . Это означает, что функция двойственна к функции , и, таким образом, отношение двойственности является симметричным. Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная ей функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.
Пример 1. Если рассматривать логические функции, то, очевидно, дизъюнкция двойственна конъюнкции и наоборот (непосредственно следует из правил Де Моргана). Отрицание является самодвойственной функцией. Функция-константа двойственна функции . Ещё один традиционный пример самодвойственной функции – функция .
Пользуясь определением двойственности нетрудно доказать следующее утверждение, называемое принципом двойственности.
Теорема 10.1. Если в формуле , представляющей функцию , все знаки функций заменить соответственно на знаки двойственных им функций, то полученная формула будет представлять функцию , двойственную функции .
В булевой алгебре принцип двойственности имеет более конкретный вид, вытекающий из ранее приведённых примеров: если в формуле , представляющей функцию , все конъюнкции заменить дизъюнкциями и наоборот, все единицы заменить нулями и наоборот, то получим формулу , представляющую функцию , двойственную функции .
Если функции равны, то двойственные им функции также равны. Это позволяет с помощью принципа двойственности получать новые эквивалентные соотношения, переходя от равенства с помощью указанных замен к равенству . Примером могут служить соотношения и , которые могут быть получены друг из друга по указанному принципу.
Теоретико-множественная интерпретация булевой алгебры предлагает очень удобный язык для изучения дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) и построения методов их упрощения. Рассмотрим кратко основные понятия, связанные с ДНФ.
Введём следующее обозначение: обозначим через множество всех единичных наборов функции . Тогда набор (вектор) из множества принадлежит тогда и только тогда, когда . Множество называется единичным множеством функции , а функция называется характеристической функцией множества . Легко показать, что соответствие между функциями и их единичными множествами является изоморфизмом.
Если функция представляется элементарной конъюнкцией всех переменных, то множество содержит ровно один элемент множества . Если же функция – элементарная конъюнкция переменных , то содержит двоичных наборов. Это объясняется тем, что в таком случае переменных, не входящих в эту конъюнкцию несущественны для функции . Тогда они принимают значений, не изменяя значения . Множество такой функции называется интервалом.
Пример 3. Рассмотрим функцию и найдём её интервал.
Прежде всего, заметим, что две переменных являются несущественными. Это позволяет сразу определить количество единичных наборов, содержащихся в множестве (иначе говоря, его мощность). Поскольку в данном случае , то получим .
Далее, очевидно, что только при значениях . При этом переменные могут принимать любые значения. Теперь перечислим все единичные наборы для данной функции: . Итак, .
В рассматриваемом случае говорят, что конъюнкция (или, точнее, интервал ) покрывает множество и все его подмножества.
Представление некоторой функции в виде ДНФ соответствует представлению её единичного множества в виде объединения интервалов; в совокупности все конъюнкции ДНФ покрывают всё единичное множество функции . Обратное также верно: если все элементы некоторого интервала принадлежат , то существует ДНФ данной функции, содержащая конъюнкцию .