Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti matematika fizika fakulteti

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
MATEMATIKA FIZIKA FAKULTETI

“MATEMATIKA” KAFEDRASI

MUSTAQIL ISH
Ta’lim yo’nalishi: MATEMATIKA VA INFORMATIKA
Guruh_103
Talabaning F.I.Sh_Xaydarova Sevinch
Fan nomi : Matematik analiz

Mavzu: HAQIQIY SONNING MODULI VA UNING XOSSALARI

Fan o'qituvchisi:Rajabov .U.T

Haqiqiy sonning moduli va uning xossalari

Reja

1. 
   Haqiqiy sonning absolut qiymati.
   

2. 
   Yig’indining absolut qiymati.
   

3. 
   Ayirmaning absolut qiymati.
   

4. 
   Ko’paytmaning absolut qiymati.
   

5. 
   Bo’linmaning absolut qiymati.
   

Haqiqiy sonning moduli

elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.

f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
C (o`zgarmas)	0		sin x	cos x
x^p	x^p-1		cos x	-sin x
			tg x
a^x	a^xlna		ctg x
f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
e^x	e^x		arcsin x
loga |x|			arccos x
			arctg x
ln |x|			arcctg x

Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang:

1. . 2. .
1.
.
2.

2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.
Agar u = g(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = f (u) funksiya u₀ = g(x₀) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x₀) = f (u₀) · g(x₀).
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x<sub>0</sub>) · dx = f (u<sub>0</sub>) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x₀) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi.
Misol.
1.  funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz:


2. y = x^sin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz:
(lny) = (sin x · lnx) <=> .
Natijada, .
3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar
y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y).
Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r-tinchi va hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosilalarini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi:
f ⁽ⁿ⁾(x), y_xxx, y^V, y, .
Shunday qilib, y = (y), y⁽⁴⁾ = (y), . . . , y⁽ⁿ⁾ = (y^{(n -1)}).
Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin<sup>2</sup>x funk-siya uchun y = (sin<sup>2</sup>x) = 2sin x(sinx) = 2sin x cos x = sin2x, y = (sin 2x)=  = 2cos2x, y = (2cos2x) = - 4sin2x va hokazo.
Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:

f (x)	f ^(n)(x)
x^p	p(p-1)(p-2)…(p-n+1)x^p-n
e^x	e^x
e^kx	k^ne^kx
Lnx
sin kx	k^n sin(kx+ )
cos kx	k^n sin(kx+ )

y = f (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi:

d²y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial;
d³y = d(d²y) – uchinchi tartibli differensial;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dⁿy = d(d^{n -1}y) - n-tartibli differensial.
Agar y = f (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda:
d<sup>2</sup>y = y(du)<sup>2</sup>, d<sup>3</sup>y = y<sup>(3)</sup>(du)<sup>3</sup>, . . . , d<sup>n</sup>y = y<sup>(n)</sup>(du)<sup>n</sup>.
Agarda y = f (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki d²y = f (u) · (du)² + f (u) · d²u va hokazo.