Namangan Davlat Universiteti Fizika fakulteti Fizika yo’nalishi iii-bosqich 303-gurux talabasi Shukirova Mushtariyning maydonlar nazariyasi fanidan “Kristofell simvollari. Geodezik chiziqlar”mavzusida tayyorlagan mustaqil ishi

Namangan Davlat Universiteti Fizika fakulteti Fizika yo’nalishi III-bosqich 303-gurux talabasi Shukirova Mushtariyning MAYDONLAR NAZARIYASI fanidan “Kristofell simvollari. Geodezik chiziqlar”mavzusida tayyorlagan

MUSTAQIL ISHI

Kristofell simvollari. Geodezik chiziqlar.

Reja:

• Kristofell simvollari.
• Geodezik chiziqlar.

Kristofell simvollari.

Bu formula affin bog’lanishlik keoffitsiyentlarini almashtirish qonunini ifodadalaydi.

•  

• Affin bog’lanishlik keoffitsiyentlarini pastki indekslariga nisbatan simmetrik deb hisoblaymiz, ya’ni:
• va
• formulalarni asos qilib olamiz.

•  

• Metrik tenzor orqali ifodalangan affin bog’lanishlikning keoffitsiyenlari odatda Kristoffelning ikkinchi tur simvoli deyiladi, esa Kristoffelning birinchi tur simvoli deyiladi.
• Kristoffel simvollarini goho Kristoffel qavslari deb ham yuritiladi.

•  

• Dekard sistemasida Kristoffelning birinchi va ikkinchi tur simvollari nolga tengdir:

•  

Geodezik chiziqlar

• oddiy evklid fazoda ikki nuqtani birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi shu ikki nuqtani birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi shu ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofadir. Fazodagi biror egri sirtning ikki nuqtasini tamoman shu sirt ustida yotuvchi to’g’ri chiziq bilan birlashtirish umuman mumkin bo’lmasada, ularni eng qisqa chiziq bilan birlashtirish mumkin. Ana shunday eng qisqa chiziq odatda geodezik chiziq nomi bilan yuritiladi. Masalan: tekislikning geodezik chiziqlari to’g’ri chiziqlardir, doiraviy slindrik sirtning geodezik chiziqlari uning yasovchilari va vint chiziqlaridir, sferik sirtning geodezik chiziqlari uning kata doiralaridir.

• Umuman, bir-biriga yetarli darajada yaqin turgan ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi yoy uzunliklari eng qisqa bo’lgan chiziqlar geodezik chiziqlar deyiladi. Bizni qiziqtirgan masala ko’p o’lchovli fazo geodezik chiziqlarining differensial tenglamalarini topishdan iborat.
• Ko’p o’lchovli fazodagi ko’p o’lchovli fazodagi chiziqni parametric shaklda olaylik:
• Bu yerda p – ixtiyoriy parameter.

•  

Bir biriga cheksiz yaqin ikki nuqta orasidagi masofa bilan koordinatalarning differensiallari metric tenzor orqali qanday bog’langanligi bizga ma’lum:

Bu yerdan

dp

Lagranj funksiyasi Eyler – Lagranj funksiyasiga bo’ysunadi:

•  

• Ma’lumki:
• va
• ga muvofiq
• bo’ladi

•  

• Bu yerda Kristoffelning ikkinchi tur simvolidir.
• =0
• =0
• Yoki

•  

Yuqoridagi tenglamalar n o’lchovli fazo geodezik chiziqlarining differensial tenglamalaridir. Geodezik chiziq eng qisqa uzunlikka ega bo’lganligidan, u ekstremal chiziq deb ham ataladi.

Dekart koordinatalarid olingan Evklid fazosi uchun

u vaqtda:

•  

• Bo’ladi, bu yerda - o’zgarmas miqdorlar. So’nggi formula parametrik shakilda yozilgan to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Demak, Evklid fazosida geodezik chiziq to’g’ri chiziq bo’ladi.

•  

• Noaniq metrikali fazoda masofa differensiali haqiqiy, mavhum yoki nol bo’lishi mumkin. Bunday fazodagi geodezik chiziqlar orasida uzunligi nolga teng bo’lganlari ham uchraydi. Uzunligi nolga teng geodezik chiziqlar izotrop geodezik chiziqlar deyiladi.
• Geodezik chiziq tushunchasi parallel ko’cherish tushunchasi bilan ham mustahkam bog’langandir.
• Geodezik chiziqning biror nuqtasida urinma bo’lgan xar qanday vektorni shu chiziq bo’ylab parallel ko’chirganda, u geodezik chiziqning boshqa nuqtalarida ham chiziqqa urinma bo’ladi.

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT