Модуль числа

Модуль числа

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:
|а| = а
Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
|а| = - а
Короче это записывают так:
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5
Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

|-а| = |а|
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:
|0| = 0
На практике используют различные свойства модулей:
|а| ? 0
|а·b| = |а| · |b|

|а|ⁿ = аⁿ , n є Z, a ? 0, n > 0
|а| = | - а|

|а + b| ? |а| + |b|
|а·q| = q·|а| , где q - положительное число
|а|² = а²
Значение |a - b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.
Пример 1.
, т.к.  < 0 ;
, т.к.  < 0
Пример 2.
Упростить выражение  , если a < 0.
Решение.

Так как по условию а < 0, то |а| = -а. В результате получаем

Ответ: 
Пример 3.
Вычислить

Решение.
Имеем

Теперь раскроем знаки модулей.
Воспользуемся тем, что 1 < ? 3 < 2. Значит, ?3 - 2 < 0, а ?3 - 1 > 0.
Но тогда |?3 - 2| = -(?3 - 2) = 2- ?3 ,
а |?3 - 1| = ?3 - 1
В итоге получаем