Microsoft Word I bob taqsimot qonunlari Maruf akaga docx

---

MEXANIK TEBRANISHLAR VA TO‘LQINLAR 
Takrorlanuvchi 
harakatlar 
yoki 
holat 
o‘zgarishlariga 
tebranishlar 
deyiladi 
(o‘zgaruvchan 
elektr 
toki, 
mayatnikning 
harakati, 
yurak 
ishi 
va 
shu 
kabilar). 
Tabiatidan 
qat’iy 
nazar, 
barcha 
tebranishlarga 
ba’zi 
umumiy 
qonuniyatlar 
xosdir. 
Tebranishlar 
muhitda 
tolqinlar 
tarzida 
tarqaladi. 
Ushbu 
bobda 
mexanik 
tebran- 
ishlar va to‘lqinlar ko‘rib chiqiladi.
GARMONIK TEBRANISHLAR
Masalan, massasi 
m
bo‘lgan moddiy nuqta prujinaga osilgan bo‘lsin (7.1- a 
rasm). Bunday vaziyatda elastiklik kuchi 
F\
bilan og‘irlik kuchi bir-birini 
muvozanatlaydi. 
Agar 
prujinani 
boshlang‘ich 
vaziyatiga 
nisbatan 
masofaga 
cho‘zsak (7.1-6 rasm), bunda moddiy nuqtaga kattagina elastiklik kuchi ta’sir 
eta boshlaydi. Guk qonuniga binoan, elastiklik kuchi 
prujinaning 
cho‘zilish 
uzunligiga yoki moddiy nuqtaning siljish kattaligi x ga proporsional o‘zgaradi 
F
= 
-kx 
Boshqa bir misol olaylik: matematik mayatnik o‘zining muvozanat holatiga 
nisbatan uncha katta bo‘lmagan biror 
a
burchakka 
og‘dirilgan bo‘lsin. U holda mayatnikning harakatlanish 
trayektoriyasini 
OX
o‘qi 
bilan 
ustma-ust tushgan to‘g‘ri chiziqdan iborat deb hisoblash 
mumkin. 
Bu 
holda 
quyidagi taxminiy tenglik bajariladi. 
≈ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ 𝑡𝑔𝛼 ≈ 𝑥/𝑙
bu 
yerda 
x
—moddiy 
nuqtaning 
muvo- 
zanat 
vaziyatiga 
nisbatan 
siljishi; 
/ 
— 
mayatnik ipining uzunligi. Moddiy nuqtaga (7.2-rasm) 
izning 
taranglanish 
kuchi 
F
n
va 
og‘irlik 
kuchi 
mg 
ta’sir 
qiladi. 
Ularning 
teng 
ta’sir 
etuvchisi 
quyidagiga teng.
F = -mgtga = -mgx /l =-k x 
Bu yerda k=mg/l 
(7.1) ni bir-biri bilan taqqoslab, bu misolda teng ta’sir etuvchi kuch elastiklik kuchiga o‘xshab 
moddiy nuqtaning ko‘chishiga proporsional va muvozanat vaziyati tomon yo'nalganini ko‘ramiz.
Tabiati jihatidan noelastik xossalari bo‘yicha elastik jism larning ju d a kichik deformatsiyalarida 
paydo boladigan kuchlarga o ‘xshagan kuchlarni kvazielastik kuchlar deyiladi. 
Nyutonning ikkinchi qonuni formulasiga (7.2) ifodani qo‘ysak, (-kx=-m(d
2
x/dt
2
)) tenglama hosil
bo‘ladi.
𝜔 = 𝜅/𝑚

---

o‘rniga qo‘yish bilan, ikkinchi tartibli differensial tenglamaga ega bo‘lamiz. 
𝑑 𝑥
𝑑𝑡
= −𝜔 𝑥
Bu tenglamaning yechimi garmonik qonunga olib keladi.
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜑 )
bu yerda 
𝜔 𝑡 + 𝜑 = 𝜑
tebranish fazasi, 
𝜑
-boshlang‘ich faza (t= 0 bo'lgan holda), 
𝜔
-
tebranishlaming doiraviy chastotasi, A ularning amplitudasi. Shunday qilib, prujinaga osilgan 
moddiy nuqta (prujinali mayatnik) yoki ipga osilgan moddiy nuqta (matematik mayatnik) 
garmonik tebranadi.
Garmonik tebranishlaming differensial tenglamasi (7.6)ni keltirib chiqarishda-kattalik 
yuzaki kiritilgan edi, lekin coo katta fizik mazmunga ega, chunki u sistemaning tebranishlar 
chastotasini aniqlab, buchastotaning qanday faktorlarga: birinchi misolda elastiklikka va 
prujinali mayatnikning massasiga, ikkinchi misolda mayatnikning uzunligiga va erkin tushish 
tezlanishiga bog'liqligini ko‘rsatadi. 
Tebranishlar davrini 
𝑇 = 2𝜋/𝜔
formula yordamida topish mumkin. 
(7.4) dan foydalanib, prujinali mayatnikning davrini aniqlash formulasini keltirib chiqaramiz: 
𝑇 = 2𝜋 𝑚 𝑘
⁄
bu tenglamadagi 
k
ning o'rniga uning (6.3) dagi ifodasini qo‘yib, matematik mayatnikning 
davrini topamiz
. 
𝑇 = 2𝜋 𝑙 𝑔
⁄
Garmonik tebranishlami vektorli diagrammalar yordamida tasvirlash juda qulaydir. Bu usul 
quyidagicha amalga oshiriladi. Abssissa o‘qining boshidan 
A 
vektomi o‘tkazamiz, uning 
OX 
o‘qidagi proyeksiyasi 
𝐴cos𝜑
ga teng (7.3- rasm). Agar 
A
vektor soat strelkasi yo‘nalishiga teskari yo‘nalishda 
𝜔
burchak tezlik bilan bir tekis aylana bo‘ylab 
harakatlanayotgan bo‘lsa, unda 
𝜑 = 𝜔 𝑡 + 𝜑
bo'ladi, A 
vektoming 
OX
o‘qidagi proyeksiyasi vaqt o‘tishi bilan (7.6) 
bu yerdan 
𝜑
kattalik 
𝜑
uning boshlang‘ich qiymati bo‘lib, 
formulada ko‘rsatilgan qonun bo‘yicha o‘zgaradi. Bunday 
tasawurda 
tebranishlar 
amplitudasi, aylana bo‘ylab tekis harakatlanayotgan 
vektorining moduli, tebranishlar fazasi 
OX
o‘q bilan 
radious vektor orasidagi burchak, boshlang‘ich faza 
boshlang'ich burchak, tebranishlarning doiraviy chastotasi 
A
vektorning aylanma harakatidagi burchak tezligi, tebranma harakat qilayotgan nuqtaning siljishi 
A
vektorning 
OX
o‘qdagi proyeksiyasidir.
Moddiy nuqtaning garmonik harakatidagi tezligini topish uchun (7.6)dan vaqt bo'yicha 
hosila olish lozim.
𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡
⁄
= −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔 𝑡 + 𝜑 ) = 𝑣
𝑠𝑖𝑛(𝜔 𝑡 + 𝜑 )
Bunda 
𝑣 = 𝐴𝜔
tezlikning eng katta qiymati (tezlik amplitudasi). 
Trigonometrik formulalardan foydalanib, (7.10)ni quyidagi ko‘rinishga kelltiramiz: 
𝑣 = 𝑣
cos [(𝜋 2
⁄ ) + (𝜔 𝑡 + 𝜑 )]
(7.11) va (7.6)ni bir-biri bilan taqqoslab, tezlik fazasi siljish fazasidan 
𝜋 2
⁄
ortiqekanliginiyoki 

---

tezlik siljishdan faza jihatidan 
𝜋 2
⁄
oldindayurishiniko‘ramiz. (7.10)ni dififerensiallab, 
tezlanishni topamiz. Bunda tezlanishning eng katta qiymati (tezlanish amplitudasi). (7.12) ning 
o‘miga quyidagini yozamiz: 
𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡
⁄
= +𝐴𝜔 cos(𝜔 𝑡 + 𝜑 ) = −𝑎
𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜑 )
(7.13) va (7.6) ni bir-biriga taqqoslashdan tezlanish fazasi bilan siljish fazalari bir-biridan 
n
ga farq qilishini va bu kattaliklar qarama-qarshi fazalarda o‘zgarayotganini ko‘ramiz. Siljish, 
tezlik va tezlanishning vaqtga bog'liq holda o'zgarishi grafigi 7.4- rasmda va ularning vektorli 
diagrammalari 7.5- rasmda ko‘rasatilgan.
TEBRANMA HARAKATNING KINET1K VA POTENSIAL ENERGIYASI 
Tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning kinetik energiyasini (7.10) ifodadan 
foydalangan holda bizga oldindan ma’lum bo‘lgan formula yordamida hisoblaymiz: 
𝐸 = 1 2 𝑚𝑣
𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜑 ) = 1 2 𝑚𝐴 𝜔 𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜑 ) = 𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜑 )
Elastik deformatsiya potensial energiyasining umumiy formulasi 
𝐸 = 𝑘𝜋
ga asoslangan 
holda va (7.6) ifodadan foydalanib, tebranma harakatning potensial energiyasini topamiz: 
𝐸 =
1
2
𝑘𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡 + 𝜑 )

---

Kinetik (7.14) va potensial (7.15) energiyalarni ifodalovchi formulalarni o‘zaro qo‘shib, 
tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning to‘la energiyasini topamiz.
𝐸 = 𝐸 + 𝐸 =
1
2
𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜑 ) +
1
2
𝑘𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡 + 𝜑 )
=
1
2
𝑘𝐴 [𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜑 ) + 𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡 + 𝜑 )] =
1
2
𝑘𝐴
Oldin aytib o‘tilganidek, qarshilik kuchi 
bo‘lmaganda sistemaning toia mexanik energiyasi 
o'zgarmaydi: 
𝐸 = 𝑘𝐴
=
𝑚𝜔 𝐴
Tebranma harakat qilayotgan sistema kinetik, 
potensial va to‘la energiyalarining vaqtga bog'liq 
0 
holda o‘zgarishi 7.6- rasmda ko‘rsatilgan.
MURAKKAB TEBRANISH. MURAKKAB TEBRANISHNING GARMONIK SPEKTRI 
Tebranishlami qo‘shish tebranishlaming yanada murakkabroq shakllariga olib kelishini 7.3- 
§da ko‘rib o‘tdik. Amaliy maqsadlar uchun esa teskari amalni bajarish, ya’ni murakkab 
tebranishlami oddiy, odatdagidek garmonik tebranishlarga ajratishga to‘g‘ri keladi.
Furye ko‘rsatdiki, har qanday murakkablikdagi davriy funksiya chastotalari murakkab davriy 
funksiya chastotasiga karrali bo‘lgan garmonik funksiyalaming yig‘indisi ko‘rinishida 
ifodalanishi mumkin.
Davriy funksiyaning garmonik funksiyaga bunday yoyilishi va binobarin turli xildagi davriy 
jarayonlaming (mexanik, elektr va hokazo) oddiy garmonik tebranishlarga ajratilishi garmonik 
analiz deyiladi.
Murakkab tebranishlar garmonik spektrini ko‘rsatishning qulay usullaridan biri har bir 
alohida garmonikalar chastotalari (yoki doiraviy chastotalari) to‘plami kabi, shu chastotalaming 
har biriga mos holdagi amplitudalari bo‘yicha ifodalagan qulay. Bu grafik usulda yanada 
ko'rgazmali qilib ko‘rsatiladi. Misol sifatida 7.14- 
a
rasmda murakkab tebranishning grafigi (egri 
chiziq 4 bilan) va uning tashkil etuvchilari bo‘lgan garmonik tebranishlar tasvirlangan (1,2 va 3 
egri chiziqlar), 
1.14-b
rasmda shu misolga mos kelgan murakkab tebranishlar garmonik spektri 
ko‘rsatilgan.

---

Murakkab tebranishlarning garmonik analizi har qanday murakkab tebranishlar 
jarayonini yetarlicha analiz qilish, yozish imkoniyatiga ega, shu sababli u akustikada, 
radiotexnikada, elektrotexnikada, fan va texnikaning boshqa sohalarida keng qo‘llaniladi.