Мавзу. Узлуксиз акслантиришлар

Мавзу. Узлуксиз акслантиришлар

Х, У - ихтиёрий тўпламлар бўлиб , Х нинг ҳар бир, элåментига У нинг битта элементи мос қўйилган бўлса, Х ни У га акслантирувчи мослик ёки акслантириш берилган дейилади ва f : Х  У кўринишда ёзилади.

Агар f : XY акслантириш берилган бўлса , Х учун  f( ) элемент нинг акси (ёки образи ) , Y учун f^-1 ( ){ X : f( ) } тўплам нинг асли (ёки прообрази ) дейилади. АХ қисм тўплам учун унинг образи f(A){f( ): A} ВY қисм тўплам учун унинг прообрази f^-1 (B){ : A ва f( ) B} аниқланади. Агар f(Х)Y бўлса, f ни устлама акслантириш, f(Х)Y бўлганда эса ичига акслантириш деб атаймиз.
Бирорта f акслантириш учун ₁, ₂Х ва ₁ ₂ дан f( ₁)f( ₂) келиб чиқса, f ўзаро бир қийматли акслантириш дейилади.
Энди Х , Y - топологик фазолар бўлсин.
Таъриф. f: X Y акслантириш берилган, Х бўлиб у f ( ) нуқтанинг ихтиёрий V атрофи учун нинг aтрофи мавжуд бўлиб,
U f^-1(V) муносабат бажарилса f акслантириш нуқтада узлуксиз дейилади.
Агар f акслантириш бирор А тўпламга тегишли ҳамма нуқталарда узлуксиз бўлса, у А да узлуксиз дейилади. Агар Х нинг ҳамма нуқталарида узлуксиз бўлса, у узлуксиз акслантириш дейилади.
Теорема-18. Берилган f аклантириш узлуксиз бўлиши учун ихтиёрий GY очиқ тўпламнинг прообрази f^-1(G) очиқ бўлиши зарур ва етарли.
Теорема - 19. Х , Y - топологик фазолар, f:XY узлуксиз акслан­тириш, А  Х - компакт тўплам бўлса , f(A) ҳам компакт тўпламдир.
Теорема-20. Х, У - топологик фазолар, f:XY узлуксиз аксланти­риш, АХ - боғланишли тўплам бўлса, f(A) ҳам боғланишли тўпламдир.
Теорема - 21. Ёпиқ кесма I [а,b] боғланишли тўпламдир.
Х - топологик фазо, f:[0,1]X - узлуксиз акслантириш бўлсин. Бу ерда I [0 , 1] кесмадаги топология юқоридаги 23 - теорема исботидаги êАБè евклид топология ёрдамида аниқланади. Агар f(0), f(1 ) бўлса, биз ва нуқталар f йўл ёрдамида туташтирилган деб атаймиз. Агар А  Х - қисм тўпламнинг ҳар қандай икки нуқтасини шу тўпламда ётувчи йўл ёрдамида туташтириш мумкин бўлса, А тўплам чизиқли боғланишли тўплам дейилади.
Теорема-22. Чизиқли боғланишли тўплам боғланишли тўпламдир.
Умуман, Боғланишли тўплам чизиқли боғланишли бўлмаслиги мумкинлигини қуйидаги мисол кўрсатади.
Мисол.
ХR², A{(x, y)R²: y  sin(1/x), 0}
{( x, y):  0 , -1 < y < 1 }
бўлсин. Равшанки, А боғланишли, лекин чизиқли боғланишли эмас.
Теорема-23. Х-топологик фазода чизиқли боғланишли тўпламлар оиласи учун бўлса, йиғинди ҳам чизиқли боғланишлидир.
Энди бу теоремадан фойдаланиб, X топологик фазонинг а нуқтаси учун унинг чизиқли боғланишлилик компонентаси тушунчасини кирита­миз. Берилган а нуқта тегишли бўлган ҳамма чизиқли боғланишли тўпламлар йиғиндиси юқоридаги теоремага кўра чизиқли боғланишли тўплам бўлади. Ана шу тўпламни а нуқтанинг чизиқли боғланишлилик компонентаси деб атаймиз ва L(a) билан белгилаймиз.
Теорема-24. Боғланишли Х топологик фазонинг ҳар бир нуқтаси чизиқли боғланишли атрофга эга бўлса, Х чизиқли боғланишли фазо бўлади.


Адабиётлар:

1. 
   Энгелькинг Р. “Общая топология”, М. “Мир” 1986.
   
2. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. “Геометрия”, М. “Наука” 1990
   
3. 
   Нармонов А. “Дифференциал геометрия”, Тошкент 2003
   
4. 
   Архангельский А.В., Пономорёв В.И., “Основы общий топологии в задачах и упражнениях”, М. “Наука” 1974.