Mavzu: Ikki o’zgaruvchili funksiya ekstrimumi

Mavzu: Ikki o’zgaruvchili funksiya ekstrimumi.

Reja:

1. 
   Ta’riflar.
   
2. 
   Zaruriy shart.
   
3. 
   Yetarli shart
   
4. 
   Shartli ekstrimum
   
5. 
   Urinma tekislik va normal tenglamalari.
   

Ta’rif: Agar f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymati f(x₀) uning ∂ atrofida barcha nuqtalardagi qiymatlaridan katta bo’lsa, ya’ni f(x₀)>f(x), f(x) funksiya x₀ nuqtada max ga ega deyiladi, aks holda min ga ega deyiladi.


<sub>y
y=f(x)




0 x0-υ x0 x0+υ x1-υ x1 x1+υ x
Zaruriy shart. Agar differensiallanuvchi f(x) funksiya x0 nuqtada ekstrimumga ega bo’lsa, u holda uning shu nuqtadagi hosilasi nolga teng bo’lishi zarur, ya’ni
f’(x0)=0
Yetarli shart. Agar x0 nuqtani o’z ichiga oluvchi intervalda uzluksiz y=f(x) funksiyaning hosilasi chapdan o’ngga o’tganda ishorasini + dan – ga o’zgartirsa max ga, aks holda min ga ega bo’ladi.
Ta’rif: Agar z=f(x,y) funksiyaning P0(x0,y0) nuqtadagi qiymati uning ∂ atrofidagi barcha nuqtalaridagi qiymatlarida katta bo’lsa, ya’ni f(P0)>f(P). f(x,y) funksiya P0 nuqtada max ga ega deyiladi aks holda min ga ega deyiladi.












max bo’lganda :
f(P)-f(P0)=Δz<0;
min bo’lganda
f(P)-f(P0)=Δz>0.
Zaruriy shart. Agar differensiallanuvchi z=f(x,y) funksiya P0(x0,y0) nuqtada ekstrimumga ega bo’lsa, u holda uning shu nuqtadagi hususiy hosilalari nolga teng bo’lishi zarur, ya’ni :


Yetarli shart. Agar z=f(x,y) funksiya P0(x0,y0) kritik nuqtada va uning biror atrofida ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lib, bundan tashqari bu nuqtadagi xususiy hosilalar nolga teng bo’lsa, ya’ni u holda P0(x0,y0) nuqtada:</sub>

1. 
   _{agar Δ>0 bo’lsa ekatrimum mavjud. Bunda}
   

_{A<0 bo’lsa max
A>0 bo’lsa min
Δ<0 bo’lsa ekstrimum yo’q.}

2. 
   _{Δ=0 bo’lsa, ekstrimum bo’lishi ham bo’lmasligi ham mumkin. Bu yerda}
   

<sub>Misol: z=x3+y3-3xy max va min larini toping.
Yechish:


Ikkita kritik nuqta P0(0,0) va P1(1,1)


Δ=AC-B·2=0·0-(-3)·2=-9<0

Δ=6·6-(-3)·2=27>0 A=6>0
P1 nuqta min nuqta
zmin(1,1)=13+13-3·1·1=-1


Shartli ekstrimum.


Ta’rif: z=f(x,y) funksiyaning shartli ekstrimumi deb, bu funksiyaning x va y o’zgaruvchilarini bog’lash tenglamasi deb ataluvchi φ(x,y)=0 tenglama bilan bog’langanlik shartida erishadigan ekstrimumga aytiladi.
z=f(x,y) funksiyaning shartli ekstrimumlari Lagransh usuli bilan topiladi.
Quyidagi yordamchi funksiyani tuzamiz F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y).
Bu yerda λ – biror o’zgarmas son.
F(x,y,λ) – funksiyaning xususiy hosilalalrini nolga tenglab quyidagi sistemasi hosil qilamiz:

Uni yechib x, y, λ larni topmaiz.
Shartli ekstrimumni topishning bayon etilgan usuli Lagranj usuli deyiladi. F(x,y,λ) – Langranj funksiyasi deyiladi. Shunday qilib shartli ekstrimumni topishni Lagranj funksiyasining oddiy ekstrimumini topishga keltirildi. Topilgan nuqtada d2F>0 bo’lsa shartli min, d2F<0 bo’lsa shartli max bo’ladi.
Misol: z=6-4x-3y funksiyaning x va y lar x2+y2=1 tenglama bilan bog’langan sharti ostidagi ekstrimumini toping.
Yechish: Lagranj funksiyasini tuzamiz: F(x,y,λ)=6-4x-3y+λ(x2+y2-1)
Sistema ni yechib</sub>


bo’lganda d²F>0 nuqtada shartli min;
bo’lganda d²F<0 nuqtada shartli max;


Sirtga o’tkazilgan urinma, tekislik va normal tenglamasi.

Urinma tenglamasi :

y-y₀=f’(x₀)·(x-x₀)
normal tenglamasi:

Misol: y=lnx ga x₀=1 nuqtada o’tkazilgan urinma va normal tenglamani tuzing:
Yechish:
Urinma:
Normal:


Ta’rif1: ∂ sirtga M₀ nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik deb sirtda yotgan chiziqlarga urinma bo’lgan barcha to’g’ri chiziqlar joylashgan tekislikka aytiladi. M₀ – urinish nuqtasidir.
Ta’rif2: Urinish nuqtasida urinma tekislikka perpendikulyar bo’lgan chiziq shu nuqtada sirtga o’tkazilgan normal deb ataladi.
z=f(x,y) sirtda yotuvchi M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtda o’tkazilgan urinma tekislik tenlamasi:
z-z₀=fx’(x₀,y₀)(x-x₀)+fy’(x₀,y₀)(y-y₀)
normal tenglamasi:

Agar sirt F(x,y,z)=0 tenglama bilan berilgan bo’lda:


Misol: z=x²+y²; M₀(1;-2) z₀=5²+(-2)²=5


z-5=2(x-1)-4(y+2)

Misol2: x²+y²+z²=4 y₀=1





O’z-o’zini telshirish uchun savollar:

1. 
   Zaruriy shartni izhlang.
   
2. 
   z=f(x,y) funksiya ekstrimumga ega bo’lmaslik shartini yozing.
   
3. 
   max ga ega bo’lishshartini yozing.
   
4. 
   Shartli ekstrimum nima?
   
5. 
   Logransh funksiyasi qanday tuziladi.
   
6. 
   Shartli min bo’lish shartini yozing.
   
7. 
   Sirtga o’tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamasini yozing.
   

Mustaqil yechish uchun misollar:

1. 
   Quyidagi funksiyalarning ekstrimumlarini toping:
   

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   

2. 
   Quyidagi funksiyalarning shartli ekstrimumlarini toping:
   

3. 
   _{Sirtga o’tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalarni yozing.}
   
4. 
   _{z=x2-y2 sirtga M0(2;1) nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalarni yozing.}
   
5. 
   _{x2+2y2-4z2=5 bir pallali giperboloidga M0(1,2,1) nuqtada o’tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalarni yozing.}
   

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Yo. U. Soatov “Oliy matematika” I – tom. Toshkent. “O’qituvchi” 1995.
   
2. 
   В.Е.Шнейдер, А.И. Слудений, А.С. Шумов “Oliy matematika qisqa kursi” I – qism. Toshkent. “O’qituvchi” 1985.
   
3. 
   Н.С. Пискулов “Differensial va integral hisob” I – tom, Toshkent “O’qituvchi” 1975.
   
4. 
   “Сборник задач по курсу высщей математики” Г.И. Кручковина. Moskva “Высшая школа” 1973