M a’ruza 3 funksiyaning hosilasi, hosilaning ta'rifi. Uning gеomеtrik va

M A’RUZA 3  

4.3. FUNKSIYANING HOSILASI, HOSILANING TA'RIFI. UNING GЕOMЕTRIK VA 

MЕXANIK MA'NOSI. HOSILA OLISH QOIDALARI. ASOSIY ELЕMЕNTAR 

FUNKSIYALARNING HOSILALARI. 

Reja. 

1. Funksiyaning hosilasi. 

2. Hosilaning geometrik ma'nosi 

3. Hosilaning mexanik ma'nosi. 

5.Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi. 

6. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.

 

Tayanch so’zlar:Hosila, orttirma, hosilaning geometrik va mexanik ma'nosi,urinma. 

1.

Funksiyaning hosilasi.

  

Ta'iif. Agar y= f (x) funksiyaning x=x

o

 nuqtadagi orttirmasi 



y ning argument orttirmasi 



x  ga  nisbatining 



X 

nolga  intilganda  chekli  limiti  mavjud  bo’lsa,  bu  limit  f  (x) 

funksiyaning  x 

o

 nuqtadagi  hosilasi deb ataladi  va  y' yoki y'(x

0

) yoki f  '(x

o

) yoki 

dx

dy

  yoki 

dx

df

  ko’rinishlarda belgilanadi.

1

 

Demak ta'rifga ko’ra f '(x

o

)= 

lim

0





x

   

x

x

f

x

x

f

x

y

x



















)

(

)

(

lim

0

0

0

 

Misollar. 

1. y=f(x)=s=const bo’lsin. 



y=f(x+



x)-f(x)=c-c=0   y'=

0

lim

0











x

y

x

 

2. y=f (

X

)=x bo’lsin

















x

x

x

x

x

y

)

(

l; y'=

x

y

x









lim

0

 = 1

 

3. y=x

2

 funksiyaning x=3 nuqtadagi hosilasini toping;  

y

o

=9; y

o

+



y=(3+



x)

2

=9+6



x+(



x)

2

 

y’=

6

)

6

(

lim

0

)

6

(

lim

0

lim

0



































x

x

x

x

x

x

x

y

x

 

4. y=f(x)=

x

,(x>0) 

y’=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

2

1

1

lim

0

lim

0

lim

0





































 

2.Hosilaning geometrik ma'nosi. 

  y

 

Biror (a,b) oraliqda aniqlangan  y=f (x) funksiyaning                                                M

1

 

grafigi egri chiziqdan iborat bo’lsin. L da M

o

(x

o

,y

o

) va                                                   T 

Mj(x 

o

+



X

1

,y

o

+



y) nuqtalar olib, ularni birlashtiruvchi  

     M

0

    L    M

2

 

M

0

M

1 -

 kesuvchini ko’raylik. Agar M

1

 nuqtani      

    



y

 

M

0

 nuqtaga cheksiz yaqinlashtirsak M 

0

M

1

 kesuvchining       α        β             



x

  

limit holati bo’lgan M

0

T to’g’ri chiziqqa L egri  

0                                        x 

chiziqning M

0

 nuqtasiga o’tkazilgan urinma deyiladi.

 

Yuqoridagi  chizmadan  ko’rinadiki  Ox  o’qining  musbat  yo’nalishi    bilan  urinma  α 

burchak,  M 

0

M kesuvchi  esa  β  burchak tashkil  qiladi.  tgα =

x

y





 ekanligi ma'lum. 



x

0



 

da M

1 



M

0

 intilib β



α .

 

                                         

1

  James Stewart Calculus 7E 104-140betlar 

Bundan tgα=

















x

y

x

tg

x

lim

0

lim

0



f’(x)



f’(x)=tgα . 

Shunday  qilib,  y=f(x)  funksiyaning  x=x

o  

nuqtadagi  hosilasining  qiymati  funksiya 

grafigidagi  shu  M

o

(x

o

,y

o

)  nuqtaga  o’tkazilgan  urinmaning  Ox  o’qining  musbat  yo’nalishi 

bilan  hosil  qilgan  burchak  tangensiga  teng  bo’lar  ekan.  Boshqacha  aytganda  urinmaning 

burchak koeffisiyentiga teng bo’lar ekan: k=tgα =f '(x 

o

)

 

Agar  M

o

(x

o

,  y

o

)  ya'ni  M

o

(x

o

;  f(x

o

)  nuqtaga  o’tkazilgan  urinma  tenglamasini  y=kx+b 

ko’rinishda olsak, urinma shu M

0

(x

0

, f(x 

o

)) nuqtadan o’tgani uchun

 

f(x

0

)=kx

0

+b



b=f(x

0

)-kx

0

.

 

Bu  holda  y=  kx+b



y=kx+f(x

o

)-kx

0



y=f(x

o

)+k(x-x

o

)



y=f(x

o

)+f(x

o

)(x-x

o

)  urinma 

tenglamasi.

 

Misol. y=

x

1

 giperbolaning x=x

o

=l ya'ni (1;1)  nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamasini 

tuzing. 

y(x

o

)=f(l)==l; f '(x)= -

2

1

x

; f'(l)=-l          y=l -l(x-l) => y=2 -x. 

3. Hosilaning mexanik ma’nosi. 

Moddiy  M  nuqta  y= f(t)  qonun  bo’yicha  to’g’ri  chi ziq  bo’ ylab  harakatlansin. 

Moddiy nuqta  boshlang’ich  holatda 0  nuqtada  bo’lib, t 

o 

momentda  esa  Mo  holatni  olib, 

y 

o

=f(t 

o

)  masofani  bossin.t=t

0

+



t  momentda  esa  M

1

  holatni  olib,  bosib  o’tgan  yo’li 

y=f(t

1

)=f(t

o

+



t) bo’ladi. 



t vaqtda bosib o’tgan yo’li esa 



y=f( t

o

+



t)-f(t

o

) bo’ladi.

 

t

y





nisbat moddiy nuqtaning 



t vaqtdagi o’rtacha tezligi deyiladi.

 

v=

lim

0





t

t

y





 — moddiy nuqtaning t momentdagi tezligini beradi. 

lim

0





t

t

y





=u'.

 

 

f(t

º

)     



y         f(t

1

)] 

 

0 

M

0

      



t 

M

11     

t 

Demak,  hosilaning  mexanik  ma'nosi  harakatlanayotgan  moddiy  nuqtaning  ma’lum 

momentdagi tezligini ifodalar ekan.  

4. Teskari funksiyaning hosilasi. 

Teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremani isbotsiz keltirib o’taylik.

 

Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu kesmada o’suvchi 

(kamayuvchi)  bo’lsa,  bu  funksiyaga  teskari  bo’lgan  x=φ(y)  funksiya  mavjud  bo’ladi.  y=f(x)  ga 

teskari bo’lgan funksiyani topish uchun tenglamani x ga nisbatan yechish kerak.

 

Teorema.  Agar  y=f(x)  funksiya  x  nuqtada  chekli  f  '(x)  ≠0    hosilaga  ega  bo’lsa,  u  holda  bu 

funksiyaga teskari bo’lgan x= φ (y) funksiya ham shu nuqtada   φ’(y)=

)

(

'

1

x

f

  hosilaga ega bo’ladi.

 

Isboti. y'

x

=f '(x) mavjud bo’lsin. x= φ (y) funksiya argumenti u ga 



y orttirma bersak

 



X

= φ(y+



Y

) - φ(y),  

lim

lim

)

(

'

'

1

0

0





























y

y

y

y

x

y

x

y

y

x



)

(

'

1

lim

1

1

0

x

f

x

y

x

y

y

















 

φ'(y) = 

)

(

'

1

x

f

    yoki    x

y

' = 

)

(

'

1

x

y

 

5. 

Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.

 

Teorema.  Agar  u(x)  va  v(x)  funksiyalar  X



  (a,b)  nuqtada  u'(x)  va  v'(x)  hosilalarga  ega 

bo’lsa,  u  holda  ularning  algebraik  yig’indisi,  ko’paytmasi  va   bo’linmasi  shu  x  nuqtada 

hosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:

 

(u±v)'=u'±v';  

(uv)'=u'v+uv'

 













v

u

 ‘ =

)

0

)

(

(

'

'

2





x

v

v

uv

v

u

 

Isboti. [u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x) ekanligini ko’rsataylik. y=u(x)+v(x)  deb  x ga 



X 

orttirma bersak 

u(x), v(x) funksiyalar ham orttirma oladi: 

AU

=

U

(

X

+

AX

)-

U

(

X

)

 



u

=u(x+



x)-u(x)

 



y=y(x+Ax)-y(x)=[u(x+Ax)-u(x)]+[v(x+



x)-v(x)]= 



U

+



V 

teoremaning  shartiga  ko’ra  u(x), 

u(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lgani uchun 

 







































x

v

x

u

x

y

x

x

lim

lim

0

0

u’(x)+v’(x)



u(x)+v(x)|'=u'(x)+v'(x) 

Qolganlari ham shunga o’xshash isbot qilinadi.

 

6. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.

 

1.  y=x

n

  (x>0)  darajali  funksiyamng  hosilasini  topaylik.  Funksiya  hosilasining  ta'rifiga  ko’ra 



y=(x+



x)

n

-x

n

=x

 n



1

1

[



















n

x

x

 ,           

;

1

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

n

n

n

n



















































































 

x

x

x

n

x







































1

1

lim

0

 = n ajoyib limitni e’tiborga olsak 

1

1

0

0

1

1

lim

lim



























































n

n

n

x

x

nx

x

x

x

x

x

x

y

 

1

)'

(

'







n

n

nx

x

y

. 

2.y=a

x

 (a>0, a ≠ \ )  ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi. 

);

1

(

















x

a

x

a

x

a

x

x

a

y

         

x

x

a

x

a

x

y













)

1

(

, 

na

x

x

a

x

1

1

lim

0







  ajoyib limitga ko’ra 

x

a

x

x

a

x

a

x

x

y

x

y























)

1

(

lim

0

lim

0

'

    

na

x

a

x

x

a

x

1

1

lim

0













 Demak, y'=(a

x

)'=a

x

lna 

3.  y=  log

a

x  (a>0, a≠  1)  logarifmik  funksiyaning  hosilasi  ham  y'=(log

a

x)'=

x

1

  log

a

e  formula 

bilan topiladi.

 

Agar  log

a

e=

e

n

1

1

;  log

e

a=lna;  log

e

x=lnx;  log

x

e=

x

n

1

1

.

  ekanligini  e’tiborga  olsak 

y'=(log

a

x)'=

na

x1

1

 kelib chiqadi.

 

Agar a=e desak lna=lne=l bo’lib, y=lnx; y'=(1nx)'=

x

1

 bo’ladi.

 

4. y=sinx funksiyaning hosilasini topish uchun x ga 

x



 orttirma bersak, 

y

ham 

y



 orttirma 

olib 

y



=sin(x+



x)-sinx=2sin











 

2

x

cos





,

2

2

















x

x

 

.

cos

2

2

cos

2

sin

lim

0

lim

0

'

x

x

x

x

x

x

x

y

x

y































































 

x

x

y

cos

)'

(sin

'





 

xuddi  shuningdek  o’rta  maktab  dasturidan  bizga  ma'lum  bo’lgan  boshqa  trigonometrik 

funksiyalarning hosilalarini hisoblash mumkin: 

x

ctgx

x

tgx

x

x

2

sin

1

'

)

(

;

2

cos

1

'

)

(

;

sin

)'

(cos











 

5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning hosilasini hisoblashni ko’raylik.

 

y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning 

hosilalariga ko’ra

 

2

2

2

1

1

1

1

'

( a r c s i n

) '

( s i n

) '

c o s

1

s i n

1

1

( a r c s i n

) '

,

(

1

1) .

1

y

x

y

y

y

x

x

x

x

=

=

=

=

=

-

-

=

-

<

<

-

 

Xuddi shuningdek  (arccosx) '

.

2

1

1

'

)

(

;

2

1

1

'

)

(

;

2

1

1

x

arcctgx

x

arctgx

x















 

6. y=lnx bo’lsa, y'

;

1

'

.

1

x

x

x



 Agar y=lnu bo’lib u=f(x) bo’lsa, 

;

)

(

)'

(

'

)'

1

(

'

x

f

x

f

u

u

nu

y





 

Agar y=u

v(x)

(x) bo’lsa, lny=vlnu - bundan hosila olsak 

.

'

1

'

'

,

'

1

'

'





























u

u

v

nu

v

u

y

u

u

v

nu

v

y

y

v

 

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar: 

1.  To’g’ri chiziqli notekis harakatning o’rtacha tezligiga ta’rif. 

2.  Oniy tezlik nima? 

3.  Funksiya hosilasini ta’rifini bering. Hosilani belgilanishlari. 

4.  Hosila qanday geometrik va mexanik manoga ega? 

5.  Qanday funksiyaning hosilasi nol bo’ladi? 

6.  Hosila olish qoidalari. 

7.  Asosiy elementar funksiyalarning hosila jadvalini yozing