Лекция №9 правая тройка левая тройка

векторное и смешанное произведение векторов

Лекция № 9

ПРАВАЯ ТРОЙКА
ЛЕВАЯ ТРОЙКА

ВЕКТОРНОЕ произведение векторов

ВЕКТОРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ двух ненулевых векторов и называется ВЕКТОР, который :
1. ортогонален векторам и , ;
Обозначение векторного произведения :
3. векторы и образуют ПРАВУЮ тройку.
2. имеет длину (модуль), равную числу где угол между векторами и
Можно убедиться, что между базисными ортамиверны соотношения :
Проверим, например, первое равенство :
1. ортогонален векторам и , ;
3. векторы образуют ПРАВУЮ тройку.
2.
ЗАДАНИЕ: Второе и третье равенство проверить дома.

Свойства векторного произведения

3. При перестановке множителей векторное произведение МЕНЯЕТ ЗНАК на противоположный :
1. Постоянное число можно вносить и выносить за скобки
векторного произведения :
2. При векторном умножении суммы векторов на вектор можно раскрыть скобки :

Геометрический смысл векторного произведения

Длина (МОДУЛЬ ) векторного произведения численно равна ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, построенного на векторах и как на сторонах:
Так как площадь треугольника равна ПОЛОВИНЕ площади параллелограмма, то

Критерий коллинеарности

Два ненулевых вектора иКОЛЛИНЕАРНЫ тогда и только тогда, когда
их ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ равно НУЛЕВОМУ вектору:
Действительно, если,то угол между ними равен или .
Так как и , то длина векторного произведения
, что соответствует НУЛЕВОМУ вектору.
Если же, то , и так как вектора иненулевые, то, ; значит, то есть или , и .
ВОПРОС: Чему равен ВЕКТОРНЫЙ КВАДРАТ вектора?
ОТВЕТ: ВЕКТОРНЫЙ КВАДРАТ любого вектора , так как
любой вектор КОЛЛИНЕАРЕН самому себе.

Выражение векторного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора :; .
Вектор имеет координаты:
Для запоминания этой формулы удобно использовать символ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ третьего порядка:
В первой строке символического определителя стоят базисные орты .
Во второй строке - координаты первого вектора;
В третьей строке - координаты второго вектора.
Используя разложение определителя
по элементам ПЕРВОЙ строки, получим:

СМЕШАННОЕ (ВЕКТОРНО -СКАЛЯРНОЕ)произведение векторов

Составим произведение ТРЕХ векторов и таким образом: первые ДВА умножаются ВЕКТОРНО :, а их результат умножается на ТРЕТИЙ вектор скалярно::
Смешанное произведение НЕ МЕНЯЕТСЯ
при перемене мест знаков
векторного и скалярного умножения :
ВОПРОС: Смешанное произведение является ВЕКТОРОМ ИЛИ ЧИСЛОМ ?
Смешанное произведение является ЧИСЛОМ.

Геометрический смысл СМЕШАННОГО произведения

Если построить ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД на векторах и , то
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ этих векторов равно
ОБЪЕМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, взятому со знаком « ПЛЮС»,
если эти векторы образуют ПРАВУЮ тройку.
Если тройка векторов и ЛЕВАЯ, то
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ этих векторов равно
ОБЪЕМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, взятому со знаком «МИНУС»: .

Критерий КОМПЛАНАРНОСТИ трех векторов

ТРИ ненулевых вектораи КОМПЛАНАРНЫтогда и только тогда, когда
их СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ :
Теперь пусть ; если они НЕ компланарны, то можно построить параллелепипед с объемом . Но так как, то получим, что противоречит условию. Значит, предположение о том, что векторы и НЕ компланарны, ОШИБОЧНО , и иКОМПЛАНАРНЫ.
и
КОМПЛАНАРНЫ
Пусть дано, чтои КОМПЛАНАРНЫ, то есть параллельны одной плоскости. Тогда вектор будет ортогонален этой плоскости и составит с третьим вектором прямой угол . Скалярное призведение таких векторов равно нулю, то есть

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы три вектора :;
Если найти их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений, то получим формулу:
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из КООРДИНАТ умножаемых векторов.
Приложения смешанного произведения
Вычисление объема треугольной пирамиды (тетраэдра)
ВОПРОС: Зачем нужен знак модуля у смешанного произведения?
ОТВЕТ: Смешанное произведение левой тройки векторов - число отрицательное, а объем тела (пирамиды) не может быть меньше нуля, поэтому требуется знак модуля.