Integral mavjud bo’lsin

Ikki karrali integralni hisoblashning asosiy usuli uni ikki marta bir karrali integralni hisoblashga kelltirishdan iboratdir.

1-teorema.

Berilgan f funksiya Q=[a,b] [c,d] to’g’ri to’rtburchakda integrallanuvchi bo’lib ,

har qanday

I(

integral mavjud bo’lsin.

U holda I( ) funksiya kesmada integrallanuvchi bo’lib,ushbu

tenglik bajariladi.

Isbot.Agar istalgan regulyar

funksiyasini olsak, (2) tenglikning chap va o’ng tomonini to’g’ridan-to’g’ri

hisoblash yordamida,bu tenglik o’rinli ekanini ko’rsatish mumkin.

Aniqrog’i ,bunda tenglikning ikki tomoni ham ning yuziga ,yani ga teng.

Bundan chiqdi,isbotlanayotgan tenglik bunday funksiyaning istalgan chekli sondagi chiziqli kombinatsiyasi uchun ham o’rinli bo’ladi.

Endi berilgan Q to’g’ri to’rtburchakning vertical va gorizantal to’g’ri chiziqlar yordamida bo’lish natijasida hosil bo’lgan,

bo’linishni qaraymiz. U holda yuqoridagi mulohazalarimizga ko’ra (2) formula , bo’linishga mos keluvchi va mos ravishda h(x,P)= w(x, ) hamda H(x,p)= w(x, ) formulalar bilan aniqlangan Darbuning quyi va

yuqori funksiyalari uchun o’rinli bo’ladi. Quyida

, ,P)d

belgilash kiritaylik.

Malumki bu funksiyalar [a,b] kesmada integrallanuvchi bo’lib ulardan olingan integrallar mos ravishda s(f,P)= tenglik bilan aniqlangan Darbuning quyi va yuqori yig’indilariga teng:

Shartga ko’ra f funksiya integrallanuvchi bo’lgani sababli istalgan

tengsizlik bajariladi.

Endi o’z-o’zidan ko’rib turgan

(4)

Tengsizlikni hisobga olsak bu teoremagadan

Teorema.Faraz qilaylik E to’plamda integrallanuvchi { } funksiyalar ketma-ketmaligi f funksiya o’sha to’plamda tekis yaqinlashsin. U holda f funksiya ham E to’plamda integrallanuvchi bo’lib

tenglik bajariladi.

I(

3 va 4 ga ko’ra

s(f,P) (f,P).

bundan talab qilingan 2 tenglikning kelib chiqishi aniq.

Eslatma-1.

Odatda 1 va 2 tengliklarni quyidagi

(5)

Formula ko’rinishda yoziladi.etibor bering chap tomonda ikki karrali integral turibdi o’ng tomondagi integralni esa takroriy integral deyishadi.

Eslatma-2.

Agar f faunksiya 1-teoremaga shartlarini qanoatlantirsa ham har qanday qiymat uchun

J )d

Integral mavjud bo’lsa uholda bu teoremadan quyidagi

)d = )d

Tenglik kelib chiqadi.

Eslatma-3.

5 ning o’ng tomondagi takroriy integralning mavjudligining chap tomondagi ikki karrali integralning mavjudligi ,umuman aytganda kelib chiqmaydi.

Bunga misol tariqasida Q={(x,y): 0 1, -1 1}

To’rtburchak aniqlangan f(x,y)=yD(x)

Funksiya qaraylik bunda D(x) orqali odatdagidek Direxle funksiyasi belgiladik .

f(x,y) funksiya Q to’g’ri to’rtburchak integrallanuvchi emas ammo uchun 5 o’ng tomoni takroriy integral mavjud hamda nolga tengligini tekshirish qiyin emas.

1-misol.

f(x,y)=y

funksiyadan Q= { 0 , 0 1}

to’g’ri to’rtburchak bo’yicha olingan integralni hisoblang.

Buning uchun 5 formuladn foydalanish yetarli

Xuddi shunday yuqoridagiga o’xshash usulda integrallash sohasida to’g’ri to’rtburchak bo’lmasdan ikki funksiya grafiklari orasidagi soha bo’lganda ham

ikki karrali integralni takroriy integralga keltirish mumkin.

2-teorema .

Faraz qilaylik funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lib soha ushbu

, , a b }

ko’rinishga ega bo’lsin.

Agar f funksiya sohada integrallanuvchi bo’lib istalgan [a,b] uchun

I(x)=

Integral mavjud bo’lsa u holda I(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo’lib

dxdy=

Tenglik bajariladi.

Isbot. Avval f funksiya sohadan tashqari nolga teng qilib davom ettiramiz. So’ngra sohasini o’z ichiga oluvchi biror Q regulyator to’g’ri to’rtburchakni olib uning uning uchun 1-teoremani qo’llasak talab qilingan.6 tenglikka ega bo’lamiz.

2-misol.

F(x,y)= funksiyadan

: }

Soha bo’yicha olingan ikki karrali integralni hisoblash.

Buning uchun 6 tenglikni qo’llash yetarli.

Bazan integrallash sohasi murakkabroq ko’rinishga ega bo’lganda ham integrallash

Sohasini soddaroq ko’rinishga ega chekli sondagi qismlarga bo’lib integral hisoblashni yuqorida ko’rilgan hollarga keltirish mumkin.

3-misol

Faraz qilaylik soha halqadan iborat bo’lib bunda ichki chizilgan doira radiusi r ga va tashqi chizilgan doira radiusi R ga teng bo’lsin

: }

Shu sohada

funksiya olingan ikki karrali integralni hisoblang.

Bu soha to’rt qismga bo’lib integralni har bir qismiga bo’lib integralni har bir qismda alohida hisoblaymiz

dy= )dy=

=- dy=

Ravshanki integrallar hisoblab bo’lingan integrallarga teng va shuning uchun

I= +2 =

Yuqorida biz ikki karrali integralni takroriy integralga yani ketma-ket ikki bir karrali integralga keltirib hisoblashni misollarda ko’rdik. Bazan bunga teskari amal bajarish yani bir karrali integralni ikki karrali integral ko’rinishda yozib olib so’ngra 1 teoremadan foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi.

4-misol

Faraz qilaylik bir o’zgaruvchili f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada Riman bo’yicha integrallanuvchi bolsin. U holda ikki o’zgaruvchining h(x,y)=f(x)g(x) funksiya Q=[a,b] kvadratni integrallanuvchi bo’ladi.

Ravshanki

Qavslarni ochib 1 teoremadan foydalansak

2 -2

Musbatni olamiz.

bu tenglik albatta

| dx| (7)

Ko’rinishda ham yozish mumkin. Eslatib o’tamiz 7 munosabat Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataymiz .

Ikki karrali integralda o’zgaruvchini almashtirish

= ⃒⃒ (8)

Tasdiq .fraz qilaylik Q yopiq to’g’ri to’rtburchak bo’lib Q va yassi shaklga akslantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi homeomorfizm berilgan bo’lsin. U holda shakl kvadralanuvchi bo’lib uning yuzi quyidagi

| = |dx (9)

Tenglik bilan aniqlanadi.

Isbot.

= (10)

Tenglik k bo’yicha tekis ravishda bajariladi.

Ravshanki

(x)=

) parralellogrammga o’tadi bunda ning yuzi

| )|= || (11)

Tenglik bilan aniqlanadi.

| =| )|+0( ) munosabat o’rinli ekanini anglatadi.

Agar 11 tenglik ni hisobga olsak oxirgi tenglikni

| )|= || + 0(1)

Ko’rinishda yozish mumkin.

Bundan har bir qismiy to’g’ri to’rtburchakning yuzi ga proporsional bo’lgani uchun

| )|= || +0(1) |

Tenglik ega bo’lamiz.

Ravshanki 0(1) kattalik 0 da k bo’yicha tekis ravishda nolga intiladi .shunday ekan yuqoridagi tenglikning barcha k lar bo’yicha yig’ib chiqsak .

Tenlikni olamiz.

Yuzaning additivligi sababli chap tomon | | ga teng . O’ng tomondagi

Birinchi yig’indi | uzluksiz funksiyaning integral yig’indisidan iborat ikkinchi yig’indi esa |Q| ga teng .Shuning uchun agar 0 desak, talab qilingan 8 tenglikni olamiz.

5-misol.

, 0

to’g’ri to’rtburchak berilgan bo’lsin .bundan tashqari y= bu to’g’ri to’rtburchakni tekislikka akslantirish bo’lib uning kompanentalari

Ko’rinishda bo’lsin.

Qaralayotgan to’g’ri to’rtburchakning aksi quyidagi ikki hol

+ =1 + =1

Elleps bilan chegaralangan sohaning yuqori yarmidan iborat. Mana shu yopiq

sohaning yuzini topish talab qilinadi.

Bununing uchun quyidagi yakobianni hisoblaymiz:

=ab

Shunday ekan 8 formulaga ko’ra

| = = =