Ikki nuqtali chegaraviy masala. Grin funksiyasi

Ikki nuqtali chegaraviy masala. Grin funksiyasi

• REJA:
• Kirish
• Asosiy qism. Asosiy chegaraviy masalalar
• 1-§. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha
• 2-§. Ikki nuqtali chegaraviy masala
• 3-§. Grin funksiyasi ta’rifi
• 4-§. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida teorema
• 5-§. Grin funksiyasini qurishga doir misollar
• Xulosa
• Foydalanilgan adabiyotlar ro`yhati

Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha

Differensial tenglamalar uchun qo’yilgan Koshi (boshlang’ich) masalasini eslab o’taylik. Sodda qilib aytganda, Koshi masalasi berilgan differensial tenglamaning berilgan nuqtadan o’tadigan integral chizig’ini izlashdan iborat edi. Agar differensial tenglamaning biror bir integral chizig’ini berilgan ikki nuqtadan o’tishi talab etilsa, bu masala Koshi masalasidan farq qilib, berilgan ikki nuqtaning har biri uchun alohida olingan Koshi masalasi yechimga ega bo’lsa ham, bu masala yechimga ega bo’lmasligi mumkin.

Birinchi tartibli differensial tenglama uchun bu masala quyidagicha

kabi yoziladi, bu yerda – berilgan sonlar bo’lib, . Bu masalani o’rganishda, qaralayotgan differensial tenglamaning .shartni qanoatlantiradigan yechimi mavjud bo’lsa, u yechim shartni ham qanoatlantiradimi yoki yo’qmi? degan savolga javob berish lozim bo’ladi. Bu holda bevosita savolga tekshirish bilan javob berish mumkin. Masalan, masala yechimga ega emas. Haqiqatdan ham berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishga ega bo’lib, undan shartga ko’ra , ya’ni kelib chiqadi. Demak, yechim shartni qanoatlantiradi. Ammo bu funksiya shartni qanoatlantirmaydi, chunki . Demak, bu funksiyaga mos integral chiziq (1;1) nuqtadan o’tmaydi. Shuning uchun o’rganilayotgan masala yechimga ega emas. Ammo yuqoridagi mulohazalardan ko’rinib turibdiki, ushbu masala yagona yechimga ega.

Ma’lumki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi (boshlang’ich) masalasi shartlar bilan qo’yiladi. Bu masala geometrik nuqtai nazardan, berilgan differensial tenglamaning nuqtadan y1 burchak koeffitsiyent bilan o’tuvchi integral chizig’ini topishdan iborat. Qaralayotgan tenglama uchun chegaraviy shartli masala qo’yilishi ham mumkin. Bu masalada tenglamaning integral chizig’i va nuqtalardan o’tishi talab qilinayotgan bo’lib, bu nuqtalardan bu integral chiziq qanday burchak koeffitsiyent bilan o’tishi avvaldan berilgan emas. Misol sifatida ushbu

• Ma’lumki, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi (boshlang’ich) masalasi shartlar bilan qo’yiladi. Bu masala geometrik nuqtai nazardan, berilgan differensial tenglamaning nuqtadan y1 burchak koeffitsiyent bilan o’tuvchi integral chizig’ini topishdan iborat. Qaralayotgan tenglama uchun chegaraviy shartli masala qo’yilishi ham mumkin. Bu masalada tenglamaning integral chizig’i va nuqtalardan o’tishi talab qilinayotgan bo’lib, bu nuqtalardan bu integral chiziq qanday burchak koeffitsiyent bilan o’tishi avvaldan berilgan emas. Misol sifatida ushbu
• masalani tekshiraylik. Berilgan differensial tenglamaning yechimi

dan iborat, bu yerda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bundan shartni qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar (k – berilgan ixtiyoriy butun son) bo’lsa, bo’ladi. Demak, bunda funksiya – ixtiyoriy son bo’lganda ham qaralayotgan masalaning yechimi bo’ladi, ya’ni bunda masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. bo’lib, tenglikdan. .kelib chiqadi. Bu holda qaralayotgan masala ko’rinishdagi yagona yechimga ega bo’ladi. Xususiy holda, shartni qanoatlantiradigan yechim faqatgina mavjud bo’lib, u funksiyadan iborat bo’ladi.

• dan iborat, bu yerda va - ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bundan shartni qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar (k – berilgan ixtiyoriy butun son) bo’lsa, bo’ladi. Demak, bunda funksiya – ixtiyoriy son bo’lganda ham qaralayotgan masalaning yechimi bo’ladi, ya’ni bunda masala cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. bo’lib, tenglikdan. .kelib chiqadi. Bu holda qaralayotgan masala ko’rinishdagi yagona yechimga ega bo’ladi. Xususiy holda, shartni qanoatlantiradigan yechim faqatgina mavjud bo’lib, u funksiyadan iborat bo’ladi.
• Yuqorida differensial tenglamalar uchun qo’yilgan masala Koshi masalasidan farq qiladigan masala bo’lib, uni ikki nuqtali chegaraviy masala yoki, to’g’ridan-to’g’ri, chegaraviy masala deb yuritiladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

• Foydalanilgan adabiyotlar
•  
• O’zbekiston Respublikasining ta’lim to’g’risidagi “Qonuni” Toshkent – 2020 yil, 23-sentabr, O‘RQ-637.
• Салохиддинов М.С. Насриддинов Г.Н. Оддий дифференциал тенгламалар.
• Понтрягин Л.С. Обыкновенние дифферциальные уравнения. М.Наука, 1969.
• Степанов В.В.Курс диффренциалных уравнений. М. Гиз.Физ-мат. литература. 1958.
• Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление. М. Наука. 1965.
• A.Q.O’rinov Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. Toshkent: “Mumtoz so‘z”-2014 yil.
• Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. наука, 1979 (5 –еиздание).
• A. I. Shirinov, X. N. Nosirov, I. S. G’oziyev. Differensial tenglamalar fanidan uslubiy ko’rsatma. Farg’ona – 2002.
• O‘zbekiston Raspubliaksi Prizidenti 2022y.28.01 dagi 2022-2026 yillarga mo’ljallangan “Yangi O‘zbekiston taraqqiyoti strategiyasi to‘g‘risida”gi PF-60-son Farmoni.
• Internet tarmog’idan: www.ziyonet.uz