Guruh talabasi akbaRov Nurilloning algebra va sonlar

20.04 guruh talabasi akbaRov Nurilloning algebra va sonlar

Nazariyasi fanidaN Tayyorlagan kurs ishi

• Mavzu:Chekli Abel gruppasi
• I BOB. ASOSIY TUSHUNCHALAR
• 1.1-§. Gruppa tushunchasi
• 1.2-§. Chekli gruppalarni ifodalash
• II BOB. GRUPPALARNI IFODALASH XARAKTERLARI
• 2.1-§. Ifodalash xarakterlari
• 2. 2-§. Chekli abel gruppalari

KIRISH

Bilimga chanqoq, istedodli

yoshlarni topib, ularni Vatanga fidoiy

insonlar qilib tarbiyalash muqaddas vazifadir.

I.A. Karimov.

Barchangiz yaxshi bilasizki, kelajak avlod haqida qaygurish, soglom, barkamol naslni tarbiyalab yetishtirishga intilish bizning milliy xususiyatimizdir.

Bu muqaddas zaminda yashayotgan har qaysi inson oz farzandining baxtu saodati, fazlu kamolini korish uchun butun hayoti davomida kurashadi, mehnat qiladi, ozini ayamaydi.

Bola tugilgan kunidan boshlab oila muhitida yashaydi. Oilaga xos ananalar, qadriyatlar, urf-odatlar bola zuvalasini shakillantiradi.

I

• I BOBASOSIY TUSHUNCHALAR
• 1.1-§. Gruppa tushunchasi1-tarif. a , b,, elementlarning G toplami gruppa deb ataladi, agar G dagi ixtiyoriy tartiblashgan juftlikka qandaydir amal (kopaytirish yoki qoshish, ayirish) yordamida G dagi uchinchi element mos qoyiladi va quyidagi shartlar, yani 1. Bu amal G dan olingan ixtiyoriy a, b, c elementlar uchun bu amal assostiativ, yani 2. Ixtiyoriy a element uchun G da neytral element e mavjudki uning uchun tenglik orinli.3. G dagi ixtiyoriy a element uchun, unga teskari bolgan element mavjud : Agar gruppa uchun qoshimcha ravishda kommutativlik qonuni, yani 4. G dan olingan ixtiyoriy a , belementlar uchun orinli bolsa , u xolda G gruppa kommutativ yoki abel gruppasi deb ataladi.

• Yarim gruppa. Monoid, misollar
• Aytaylik A to‘plam, * - A to‘plamda aniqlangan binar amal bo‘lsin.
• TA’RIF. Agar A to‘plamda aniqlangan * binar amal assotsiativ bo‘lsa,
• ya’ni (a,b, sA), (a*b)*s=a*(b*s) bajarilsa,’ u holda A=(A;*) – algebraik
• sistemaga yarimgruppa deyiladi. Agar * amal + (qo‘shish) amali bo‘lsa, (A;+) –
• additiv yarimgruppa,  (ko‘paytirish) bo‘lsa, (A; +) – multiplikativ yarimgruppa
• deyiladi.
• Agar * amal kommutativ bo‘lsa, ya’ni (a,bA), a*b*=b*a bo‘lsa, A ni
• kommutativ, yarimgruppa deyiladi

• Ta’rif. X to`plam berilgan bo`lsin. F : Xn  X funktsiyaga X dagi algebraik amal deyiladi. O`zgaruvchilar soniga qarab algebraik amal bir o`rinli yoki unar (bitta o`zgaruvchi qatnashsa), ikki o`rinli yoki binar (ikkita o`zgaruvchi qatnashsa), uch
• o`rinli yoki ternar (uch o`zgaruvchi qatnashsa), va umumiy holda n – o`rinli yoki n-ar (n-ta o`zgaruvchi qatnashsa) deyiladi.
• Nol o`rinli yoki nular algebraik amal sifatida X to`plamning istalgan elementini alohida olish amali tushuniladi.
• Binar algebraik amalning turlari . Algebra fanida ko`pincha binar amallar qaraladi, shuning uchun ushbu hol jiddiyroq tahlil qilinishi lozim.
• Ushbu holda x = (x , u )  X 2 uchun f(x , u ) belgilash o`rniga x f u
• belgilash qabul qilingan (f belgini o`rniga ixtiyoriy maxsus belgi ishlatilishi mumkin, masalan ,,  , , ,, ,,,, , , , ).

Misollar. a) xaqiqiy sonlar to`plamida qo`shish “” amali, ko`paytirish “” amali, ayirish

• “” amali; b) f : X  X , g : X  X funktsiyalar uchun h(x)=g( f(x)) xX tenglik bilan
• aniqlangan g f : X  X kompozitsiyani mos qo`yadigan akslantirish;
• v) Mulohazalar algebrasida aniqlangan  va  amallar;
• g) Barcha to`plamlar orasida aniqlangan  va  amallar

• Gruppa ta’rifi, asosiy xossalari.
• Chekli yoki cheksiz G to`plamda bitta algebraic amal aniqlangan deb faraz
• qilamiz. Demak, bu amal Gto`plamda bajariluvchan va bir qiymatlidir. Bu yerda
• ham algebraic amalni ko`paytirish deb atab, istalgan ikkita
• a,bGelement ko`paytmasini a  bbyoki Babko`rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, a,bGelement ko`paytmasi
• Gning yagona elementiga tengdir. 1-ta’rif. Quyidagi ikkita aksiomaga bo`ysunuvchi chekli yoki cheksiz
• Gto`plam yarimgruppa deyiladi:
• 1) a,bG(a,bGva bir qiymatli);
• 2) a,b,cG ((ab)c  a(bc)).

• Quyidagi to`rtta aksiomaga bo`ysunuvchi chekli yoki cheksiz G to`plam gruppa deyiladi:
• 1) a,bG( a,bGva bir qiymatli) ( G da algebraic amal aniqlangan);
• 2) a,b,cG ((ab)c  a(bc))(Gda ko`paytirish assosiativ);
• 3) aeG (ae  a) (Gda o`ng birlik element mavjud);

4) axG (ax  e(har bira Gelement uchun Gda o`ng teskari elemmav mavjud) a,b,c,d,...elementlardan tuzilgan G

gruppa G {a,b,c,d,...}ko`rinishda belgilanadi.

• Qism gruppa. Ta’rif. Ggruppaning Hqism to`plami Gdagi algebraic
• amalgam nisbatan gruppa tashkil etsa, Hni Gning qism gruppasi ddagi qism gruppa) deyiladi.
• Teorema. Ggruppaning qism to`plami Gda qism gruppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli;

1. h,hH (hhH)(Gagi algebraik amal Hda ham algebraik amaldir);

• 2. ( )1 h  H h  H(Hning istalgan helementiga teskari 1helement ham Hga arashli).sboti. 1. Hgruppa (Gdagi qism gruppa) bo`lsa, yuqoridagi ikkita shart albatta bajariladi.
• 2. Ikkala talab ham bajariladi desak, h  Guchun hh  e H1bo`ladi. Endi H  Gga ko`ra h,h,hHuchun (hh)h h(hh)ham bajariladi. Teorema isbot bo`ldi.