Fazoda to‘g‘ri chiziq tenglamalari

Fazoda to‘g‘ri chiziq tenglamalari

• Sharipova S.F.-Amaliy matematika kafedrasi katta o‘qituvchisi

Fazoda to‘g‘ri chiziq tenglamalari

• To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi
• To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalari
• To‘g‘ri chiziqning ikki tekislikning kesishish chizig‘i sifatidagi tenglamasi
• Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak
• To’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak
• Ikki to’g’ri chiziqning bir tekislikda yotish sharti
• Тo’g’ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi

• L to’g’ri chiziq berilgan М0(x0; y0; z0) nuqta orqali quyidagi vektorga parallel ravishda o‘tsin:

• To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi

• М0

• L

• М

• U holda М (x; y; z) nuqta faqatgina

• va

• vektorlar kollinear bo’lgandagina to’g’ri chiziqqa tegishli bo’ladi.

• Kollinearlik shartiga ko’ra:

• - to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi

• To’g’ri chiziq ikkita turli : М1(х1; у1 ; z1 ) va М2(х2; у2 ; z2 ) nuqtalar orqali o’tishi ma’lum bo’lsin.

• М1

• М2

• U holda yo’naltiruvchi vector sifatida quyidagi vektorni olish mumkin:

• Ikki nuqta orqali o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi

• L

To’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi

• Amaliy masalalarni yechishda ko’pincha to’g’ri chiziqning parametric tenglamalaridan foydalaniladi. Parametrik tenglama to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasidan hosil qilinadi:

• To’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi

• Ikki parallel bo’lmagan tekisliklar umumiy tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:

• Bu tekisliklar fazoda yagona to’g’ri chiziqni aniqlaydi:

• L

• To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi

Misol

• To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasini yozing:

• To’g’ri chiziqqa tegishli biror nuqtani, ya’ni ushbu tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi nuqtani topamiz.

• z ga ixtiyoriy qiymat berib, misol uchun, z = 0 deb olib:

• M0(11; -8; 0) – nuqta to’g’ri chiziqla yotadi

• Endi to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori koordinatalarini topamiz:

To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak

• Ikkita to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:

• Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak deb, ular yo’naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka aytiladi.

• L1

• L2

To’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

• L to’gri chiziq kanonik tenglamasi bilan:

• p tekislik esa umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin:

• To’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak deb, shu to’g’ri chiziq va uning berilgan tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi.

• L

• р

Ikki to’g’ri chiziqning bir tekislikda joylashish sharti

• Fazoda ikki to’g’ri chiziq kesishishi mumkin,

• parallel bo’lishi mumkin,

• va ayqash bo’lishi mumkin.

• ustma-ust tushishi mumkin,

• Dastlabki uch holda to’g’ri chiziqlar bir tekislikda joylashadi.

Ikki to’g’ri chiziqning bir tekislikda joylashish sharti

• Ikki to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:

• Bu ikki to’g’ri chiziqning bir tekislikda joylashishi uchun quyidagi uch vektorlar :

• М1

• М2

• L1

• L2

• komplanar bo’lishi zarur va yetarlidir.

• Ikki to’g’ri chiziqning bir tekislikda joylashish sharti

To’g’ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi

• Quyidagi tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi koordinatalarini topish uchun

• quyidagi tenglamalar sisitemasini birgalikda yechish lozim:

• К

• Buning uchun:

• to’g’ri chiziq tenglamasini parametrik ko’rinishda yozib olish zarur:

To’g’ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi

• Topilgan t0 ni to’g’ri chiziqning parametric tenglamasiga qo’yamiz:

• Tekislik tenglamasida x; y; z lar o’rniga ushbu ifodalarni qo’ysak:

• Hosil bo’lgan tenglamani t ga nisbatan yechamiz:

Misol

• To’g’ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini toping:

• To’g’ri chiziqning parametrik tenglamasini yozib olamiz:

• va tekislik tenglamasiga qo’yamiz :

• Topilgan qiymatni parametrik tenglamaga qo’yamiz: