Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

1.3. Теоретическое и экспериментальное исследование замораживания воды в различных геометрических формах

Для определения положения фазового фронта кристаллизующейся воды был предложен ряд зависимостей, полученными следующими исследователями С.С. Ковнер, Д. Нейман, Б. Стефан, Л.С. Лейбензон, Н.А. Лавров, Б.А. Савельев, Т.Н. Громова, А.М. Вайнберг, С.Б. Балкарова, Лобанов Ю.А., Бабакин Б.С., Зейгарник Ю.А., М.Б. Генералов, Л.Г. Качурин, В.В. Степанов, М.К. Жекалухов, А.В. Сосновский, В.Ф. Федосеев, А.З. Волынец, С.В. Белуков, Э.И. Гуйго, Р.И. Педросо, Г.А. Домото, Ю.П. Чин, Т.C. Чой, Реймонд, Рубинский, T.В. Радраанабхан, Р.K. Собба, А.Л. Мак-Кенозе, Д.А. Тазия, С.В. Турнер.

1.3.1. Анализ существующих решений задачи о затвердении сферических капель воды

Задачи теплообмена с фазовыми превращениями в ограниченном объеме принято называть задачами Стефанами или задачами с подвижной границей фронта раздела фаз. В литературе задачам Стефана уделено достаточно много внимания [18]. Они подробно разобраны например в работах [19, 20]. Из-за нелинейности граничных условий на поверхности раздела жидкой и твердой фазы аналитическое решение подобных задач существует только для наиболее простых случаев [21]. В связи с этим для решения задачи Стефана применяют разнообразные численные и приближенные аалитические методы. Наиболее распространенными для решения подобных задач является интегральный и квазистационарные методы [22,23, 24], с принятым допущением о стационарном распределение температур внутри твердой фазы. Недостатком таких методов является то, что не в полной мере учитывается влияние теплоемкости вещества на процесс затвердевания.
Известное классическое решение задачи о затвердевании шара, предложенная Л.С. Лейбензоном [25] и основанное на предложении о квазистационарности температурного поля в твердой оболочке и постоянстве температуры на поверхности шара, неприемлемо для вывода закона кристаллизации капель воды в воздухе, так как в нем не учитывается изменение температуры поверхности твердой оболочки по мере стягивания фронта затвердевания к центру шара. В работе [26] дается приближенное решение задачи о замерзании капли воды с учетом изменения температуры ее поверхности. При этом тепломассообмен капли воды (ледяной частицы) с воздухом учитывался введением ветрового множителя, в котором в дальнейшем был заменен на критериальные зависимости для определения коэффициентов тепло- и массообмена. Однако применимость полученного решения ограничена интервалом значений температуры окружающего воздуха от 0 до минус 20, для которого и подобрана аналитическое выражение для расчета плотности насыщенного пара в зависимости от температуры. Такое ограничение следует из постановки рассмотренной в этих работах задачи, в которой время полета капли не ограничивается. Последнее приводит к тому, что при длительном интенсивном охлаждении температура капли становится достаточно низкой и предложение о квазистационарности распределения температуры в ледяной оболочке может нарушаться.
В работе [27] рассматривалась задача о полном затвердевание капли воды с учетом механизма дислокационного роста кристаллов. В этой работе температурное распределение внутри твердой фазы принималось согласно стационарному закону распределения. Так же автором в явном виде не приведена зависимость Т = f(), а из-за сложности полученного решения его анализ затруднен.
В работах [28, 29, 66] приведено решение задачи о замерзание сферы методом возмущений. В ходе данного решения температура сферической области жидкости в начальный момент времени, принята равной температуре фазового перехода. В результате автором было обнаружено, что данное решение расходится при приближении фронта фазового превращения к центру сферы. Отсюда решение вблизи этой точки не является точным.
Исследователями Педросо и Домото [67] было получено решение о затвердивании сферы с учетом граничных условий первого рода методом возмущений с применением метода деформированных координат позволяет получить справедливое решение для всей области и может использоваться в случаях движения фронта фазового превращения к центру.
Авторами работы [30] выведена формула о полном замораживании капель в вакуумной установке. Решение достигается методом малых возмущений. получено время полного затвердевания капель раствора в вакууме. Ими был применен метод малых возмущений. В работе не освещенным остается вопрос о распределение температур в твердой фазе, а так же не приводится зависимость
Т= f(r) на стадии затвердевания.
Автором [31] было предложено математическое и приближенное описание процесса капельного намораживания воды. Его уравнения позволяют математически моделировать процесс замерзания капель в любом интересующимся нас районе.
В работе [32] предложена математическая модель (основанное на решение теплового баланса) описывающая льдообразование в капле воды справедливая для следующих условий: капля имеет сферическую форму – для капель искусственного дождя, имеющих диаметр 1–2 мм, температура воды в капле в начальный момент равна 0; внутренняя циркуляция жидкости отсутствует; в виду большого количества ледяных частиц в воздухе предполагается, что переохлаждение незначительно и ледяная оболочка появляется мгновенно; замерзание капли начинается с поверхности и фронт кристаллизации симметрично перемещается от нее к центру; температурное поле в ледяной оболочке квазистационарно.
В книге [33] была выведена зависимость между радиусом фронта кристаллизации и временем :

(1.2)

где – время замерзания, с; – скрыта теплота кристаллизации, Дж/кг; – плотность льда, кг/; R – радиус капли, м; – коэффициент теплопроводности льда, Вт/(м·К); – коэффициент теплопроводности вещества, Вт/(м·К); – температура фазового перехода вода-лед, К; – температура среды, К; – толщина промороженного слоя, м; – коэффициент теплоотдачи от среды к капле, Вт/).
Эксперименты по замерзанию капель проводились в средах с низкими температурами: гексан (минус 78), азот (минус 196).
В работе [34] представлено точное аналитическое решение задачи Стефана в квазистационарной постановке по намораживанию льда на сферической поверхности. На Рисунке 1.7 представлена схематическое изображение для случая намораживания водного льда на внешней сферической поверхности.

Рисунок 1.7. Схематическое изображение для случая намораживания на внешней сферической поверхности

Далее представлена математическая модель расчета времени намораживания слоя толщиной :

(1.3)

где – плотность льда, кг/; L – теплота плавления льда, кДж/кг; – коэффициент теплоотдачи от воды, Вт/(·К); – температура воды, К; – температура фазового перехода вода-лед, К; – толщина слоя льда, м; – коэффициент теплопроводности льда, Вт/(м·К); – температура поверхности фронта фазового перехода, К; – коэффициент теплопроводности стенки, Вт/(м·К); r – внутренний радиус сферы, м; R – внешний радиус сферы, м.
К недостаткам решения задачи можно отнести принятие стационарного распределения температур, полученная формула сложноприменима в инженерных расчетах, так же автор не приводит расчетных и опытных данных.
В работе [13] приведена оценка времени замерзания капли воды. Ее приводят на основе теплового баланса, считая что интенсивность теплоотдачи подчиняется зависимости:

(1.4)

где – время замерзания капли, с; – плотность воды, кг/; L – теплота плавления льда, кДж/кг; – диаметр капли, м; – коэффициент теплопроводности воздуха, Вт/(м·К); – средняя разность температур, по времени процесса замерзания, между окружающим воздухом и точкой замерзания капли, К.
В.Р. Алексеев, Г.И. Сморыгин [35] нашли зависимость, величины переохлаждения при кристаллообразовании от скорости понижения температуры капель. Установлено, что при больших скоростях охлаждения () для замораживания капель радиусом около 50мкм требуются низкие температуры воздуха, иначе они, при отсутствии активных центров кристаллизации, будут выпадать на поверхность не замерзшими. Так же Г.И. Сморыгиным была решена задача охлаждения капли в воздухе на основании которой было установлено, что капли радиусом до 100 мкм при любых начальных условиях охлаждаются до температуры окружающего воздуха за время . У капель R>1 мм в начальный момент времени (0 < ), существует область резко выраженного нестационарного распределения температур в капле. Были построены графические зависимости по изменению температуры воды в каплях радиусами 1 и 1,5 мм во время полета в воздухе с температурой минус 30 [36].
Л. Леви замораживал капли дистиллированной воды, падающие с высоты 1,6 м, при температуре воздуха от 0 до минус 30. Было замечено, что при температуре ниже минус 29 капля диаметром 75–135 мкм спонтанно замерзали в воздухе, выпадая на основание гранулами льда [36].
Со стороны практического применения математическую модель можно использовать при расчете холодоаккумуляционной градирни, при замораживании лесных ягод, при намораживании ледяных островов для добычи полезных ископаемых, при расчете криогрануляторов [37,38, 39, 40].