|
matlari bilangina solishtirilar ekan. Shuning uchun funksiyaning ekstremumi (maksimumi,minmumi) lokal ekstremum (lokal maksimum,lokal minimum) deb ataladi.
2.Funksiya ekstremumining zaruruiy sharti. funksiya ochiq to’plamda berilgan.Aytaylik, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega bo’lsin. Ta’rifga ko’ra nuqtaning shunday atrofi mavjudki, uchun ,xususan bo’ladi.Natijada bir o’zgaruvchiga ga)bog’liq bo’lgan fumksiyaning da eng katta (eng kichik) qiymati ga erishishini ko’ramiz.Agarda nuqtada xususiy xosila mavjud bo’lsa,unda Ferma teoremasi (qaralsin, 1-qism, 6-bob ,6-&)ga ko’ra bo’ladi.Xuddi shuningdek, xususiy xosilalar mavjud bo’lsa, , , . . . . , bo’lishini topamiz.Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz.
13.9-teorema. Agar f(x) funksiya nuqtada ekstremumga erishsa va shu nuqtada barcha xususiy holllarda ega bo’lsa, u holda , , , . . . bo’lishini topamiz.Biroq f(x) funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy xosilalarga ega va , , . . . , bo’lishidan, uning nuqtada ekstremumga ega bo’lishi har doim ham kelin chiqavermaydi.
Masalan, to’plamda berilgan funksiyani qaraylik.Bu funksiya , xususiy xosilasiga ega bo’lib ular (0,0) nuqtada ekstremumga ega emas( bu funksiyaning grafigi giperbolik paraboloidni ifodalaydi, qaralsin 12-bob 3-&).
Demak , 13.9-teorema bir argumentli funksiyalardagidek funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodala r ekan.
f(x) funksiya xususiy xosilalarini nolga aylantiradigan nuqtalar uning stansionar nuqtalari deyiladi.
13.4-eslatma.Agar f(x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda funksiyaning ekstremumga erishishining zaruruiy shartini ushbu ko’rinishida yozish mumkin.
Haqiqatdan ham, f(x) funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan uning shu nuqtada barcha xususiy xosilalarga ega bo’lishi kelib chiqadi. nuqtada funskiya ekstremumga erishisidan teoremaga ko’ra , ,. . . , bo’ladi. Bunda esa (13.39) bo’lishi topiladi.
10-&. Funksiya ekstremumining yetarli sharti
Biz yuqorida f(x) funksiyning nuqtada ekstremumga erishishining zaruriy shartini ko’rsatdik. Endi funksiyaning ekstremumga erishishining yetarli shartini o’rganamiz.
f(x) funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan bo’lsin. Ushbu ayirmani qaraylik. Ravshanki, bu ayirma atrofida o’z ishorasini saqlasa, yaqin har doim bo’lsa , f(x) funksiya nuqtada minimumga (maksimumga) erishadi. Agar (13.40) ayirma har qanday atrofida ham o’z ishorasini saqlamasa, u holda f(x) funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lmaydi. Demak, masala (13.40) ayirma o’z ishorasini saqlaydigan atrof mavjudmi yoki ya’ni f(x) funksiya ma’lum shartlarni bajargan holda yechamiz.
f(x) funksiya quyidagi shartlarni bajarshin:
1)f(x) funksiya biror da uzluksiz, barcha o’zgaruvchilari bo’yicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy xosilalarga ega;
2) nuqta f(x) funksiyaning stansionar nuqtasi, ya’ni
,. . . ,
Ushbu bobning 8-& ida keltirilgan formulasidan foydalanib, nuqtaning stansionar nuqta ekanligini e’tiborga olib quyidagini topamiz: .
Bu munosabatda f(x) funksiyaning barcha xususiy xosilalarni lar ushbu (0<0<1) nuqtada hisoblangan va . Demak, . Berilgan f(x) funksiya ikkinchi tartibli xosilalarning stansionar nuqtadagi qiymatlarini quyidagicha belgilaylik: . Unda ning nuqtada uzluksizligidan bo’lish kelib chiqadi. Bu munosabatda da barcha va 6-& da keltirilgan 13.6-teoremaga asosan (I,k=1,2,…,m) bo’ladi.Natijda (13.40) ayirma ushbu ko’rinishini oladi. Bu quyidagicha ham yozish mumkin: . Agar deb belgilasak, unda bo’ladi. Ushbu ifoda o’zgaruvchilarning kvadratik formasi deb ataladi. lar esa kvadratik formaning koeffisentlari deyiladi.Ravshanki, har qanday kvadratik forma o’z koeffitsentlari orqali to’la aniqlanadi.Kvadratik formalar algebra kursida batafsil o’rganiladi.Quyida biz kvadratik formaga doir ba’zi (kelgusida qo’llaniladigan) tushunchalarni eslatib o’tamiz.
Ravshanki, bo’lsa, har qanday kvadratik forma uchun P(0,0,…,0) bo’ladi.
Endi boshqa nuqtalarni qaraylik.Quyidagi hollar bo’lish mumkin:
1.Barcha nuqtalar uchun .Bu holda kvadratik forma musbat aniqlangan deyiladi.
2.Barcha nuqtalar uchun Bu holda kvadratik forma manfiy aniqlangan bo’ladi.
3.Ba’zi nuqtalar uchun , ba’zi nuqtalar uchun .Bu holda kvadratik forma noaniq deyildi.
4.Barcha nuqtalar uchun va ular orasida shunday nuqtalar ham borki, .Bu holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan deyiladi.
5.Barcha nuqtalar uchun va ular orasida shunday nuqtalar ham borki, .Bu holda kvadratik forma yarimmanfiy aniqlangan deyiladi.
1.Ushbu kvadratik forma musbat aniqlangan bo’lsin. Avvalo yuqoridagi va tengliklardan ekanligini topamiz.Ma’lumki, fazoda markazi 0=(0,0,…,0) nuqtada, radiusi 1 ga teng sferani ifodalaydi.Sfera yopiq chegaralangan to’plam. Veyershtrassning birinchi teoremasiga asosan shu sferada funksiya uzluksiz funksiya sifatida chegaralangan, xususan quyidan chegaralangan bo’ladi: Agar kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini e’tiborga olsak, unda bo’lishini topamiz.
Ikkinchi tomondan, Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko’ra bu funksiya sferada o’zining aniq quyi chegarasiga erishadi, ya’ni biror uchun bo’ladi.Yana kvadratik formaning musbat aniqlanganligini e’tiborga olsak . ekanini topamiz. Demak sferada bo’ladi.
Endi ni baholaymiz.Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib topamiz: .Ma’lumki, da barcha .Bundayn foydalanib nuqtaning atrofini yetarlicha kichik qilib olish hisobiga tengsizlikka erishish mumkin.Demak, (13.41)d dan .
2.Quyidagi kvdratik forma manfiy aniqlangan bo’lsin.Bu holda nuqtaning yetarlicha kichik atrofida bo’lishi 1-holdagiga o’xshash ko’rsatiladi.Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
13.10-teorema. f(x) funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan bo’lsin va ushbu shartlarni bajarsin:
1) f(x) funksiya da barcha o’zgarubchilar bo’yicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy xosilalarga ega;
2) nuqta f(x) funksiyaning stansionar nuqtasi;
3) koeffitsentlari bo’lgan
Do'stlaringiz bilan baham: | 
