Бу тенглик ёрдамида йиғинди қуйидагича ифодаланади

Бу тенглик ёрдамида йиғинди қуйидагича ифодаланади:


(21.30)

(21.30)тенгликнинг ўнг томондаги интеграл функйиянинг Дирихле интеграли деб аталади.

Шундай қилиб, функция Фуръе қаторининг қисмий йиғиндиси параметрга боғлиқ (21.30) кўринишдаги интеграл (Дирихле интеграли) дан иборат экан.
функция функйиянинг га даврий давоми бўлсин.Бинобарин, функция да берилган, даврли, да абсолют интегралланувчи функциядир.Қулайлик учун биз қуйида функциянинг ўзини да берилган, даврли, да абсолют интегралланувчи функция деб хисоблаймиз ва ўрнига ни ёзиб кетаверамиз.
Энди интегралда алмаштириш қиламиз.Интеграл остидаги функция даврли функция бўлганлиги сабабли,бу алмаштириш натижасида интеграллаш чегараси ўзгармасдан қолади(ушбу бобнинг 1-§ ига қаралсин).
Натижада

бўлади.Бу интегрални ушбу

икки қисмга ажратиб,ўнг томондаги биринчи интегралда u ўзгарувчини – u га алмаштирамиз.

(21.31)
бўлади.Дирихле интеграли нинг бу кўринишидан келгусида фойдаланилади.
Хусусан бўлса,(21.31) муносабатдан
(n=1,2,…..) (21.32)
Бўлиши келиб чиқади.Хақиқатан хпм бу холда
(k=1,2,3,….) бўлиб, бўлади.


4-§.Фуръе қаторининг яқинлашувчилиги
Энди берилган функция қандай шартларни бажарганда,унинг Фуръе қатори яқинлашувчи бўлишини топиш билан шуғулланамиз.қ
1.Локаллаштириш принципи.Юкорида келтирилан Дирихле интеграли
(21.31)

Қуйидаги мухим хоссага эга.Ихтиёрий сони олиб, (21.31) интегрални икки қисмга ажратамиз.

Ўнг томондаги иккинчи

интегралининг да лимити мавжуд ва нолга тенг.Хақиқатан хам,берилган функция да,ва демак, да абсолют интегралланувчи бўлганлигидан


функция хам шу оралиқда абсолют интегралланувчи бўлади да функция чегараланган)ва 21,3-леммага асосан Натижада қуйидаги теоремага келамиз.
21.1-теорема.Ушбу интегралининг даги лимити мавжуд бўлгандагина Дирихле интегралининг даги лимити мавжуд бўлади ва
Равшанки интегралда функциянинг оралиқдаги қийматларигина қатнашади
Шундай қилиб берилган функция Фуръе қаторининг нуқтада яқинлашувчи ёки узоқлашувчи бўлиши бу функциянинг шу нуқта атрофида қийматларигагина боғлиқ бўлар экан.Шунинг учун келтирилган теорема локаллаштириш принципи деб юритиладиУниг мохиятини қуйидагича хам тушунтириш мумкин.Иккита турли даврли ва функцияларнинг хар бири да абсолют интегралланувчи бўлсин.Равшанки бу функцияларнинг Фуръе қаторлари хпм,умуманайтганда,турлича бўлади.

Бирор

ва учун = ,агар
агар бўлса у холда да бу функциялар Фуръе қаторлари қисмий йиғиндилариниг нуқтадаги лимитлари ёки бир вақтда мавжуд(бу холда улап бир-бирига тен)бўлади,ёки улар бир вақтда мавжудбўлмайди.
Пировардид ўқувчиларимиз эътиборини локаллаштириш принципининг яна бир мухим томонига жалб қилайлик.Келтирилган теоремадан интегралнинг даги лимити барча ларучун бир вақтда ёки мавжуд бўлиши ёкимавжуд бўлмаслиги келиб чиқади.
2.Фуръе қаторининг яқинлашувчилиги.
21.2-теоремада. даврли функция оралиқда бўлакли-дифференцмалланувчи функция бўлса у холда бу функциянинг Фуръе қатори
да яқинлашувчи бўлади.Унинг йиғиндиси бўлади .
Исбот.(21.32) тенгликнинг хар икки томонини га кўпайтириб қуйидагини топамиз:

(21.31) ва (21.33) муносабатлардан фойдаланиб ушбу
айирмани қуйидагича ёзиш мумкин:
Агар

деб белгиласак унда

бўлади.
Эгди ва ларни бахолаймиз.Ихтиёрий соннни олиб, ни икки қисмга ажратиб ёзайлик:
(21.34) Локаллаштириш принципига асосан
бўлади.Демак олинганда хам шундай топиладики, учун
(21.35) бўлади.
Энлди (21.34)тенгликнинг ўнг томонидаги биринчи интегрални бахолайлик.Уни ни танлаб олиш хисобига етарлича кичик қила олишимиз мумкинлигини кўрсатайлик.
Шартга кўра, функция да бўлакли дифференциалланувчи.Бинобарин, нуқтада унинг бир томонли чекли хосилалари хусусан ўнг хосиласи
мавжуд.Демак шундай топиладики бўлганда бўлади
Шунингдек шундай топиладики, бўлганда

бўлади.Агар дейилса унда ихтиёрий учун

(21.36)
Bo’ladi