Binomial koeffitsientlarni shakllantirish uchun tartibga solish mumkin

Binomial koeffitsientlarni shakllantirish uchun tartibga solish mumkin Paskal uchburchagi, unda har bir yozuv yuqoridagi ikkitaning yig'indisi.

Ikkinchi kuchga qadar binomial kengayishni vizualizatsiya qilish
Yilda matematika, binomial koeffitsientlar ijobiydir butun sonlar kabi sodir bo'ladi koeffitsientlar ichida binomiya teoremasi. Odatda binomial koeffitsient butun juftlik bilan indekslanadi n ≥ k ≥ 0 va yozilgan Bu koeffitsient xk muddat polinom kengayishi ning binomial kuch (1 + x)n, va u formula bilan berilgan.Masalan, ning to'rtinchi kuchi 1 + x bu va binomial koeffitsientning koeffitsienti x2 muddat.Raqamlarni tartibga solish uchun ketma-ket qatorlarda deb nomlangan uchburchak qatorni beradi Paskal uchburchagi, qoniqarli takrorlanish munosabati
Binomial koeffitsientlarni umumlashtirish mumkin ( ) har qanday murakkab raqam uchun z va tamsayı k ≥ 0, va ularning ko'plab xususiyatlari ushbu umumiy shaklda saqlanib qolishda davom etmoqda.
Formula {1, 2, 3, ..., to'plamni ko'rib chiqishdan kelib chiqadi n} va alohida hisoblash (a) the k- ma'lum bir elementni o'z ichiga olgan element guruhlari, aytaylik "men", har bir guruhda (beri"men"allaqachon har bir guruhda bitta joyni to'ldirish uchun tanlangan, biz faqat tanlashimiz kerak k - qolganlardan 1 ta n - 1) va (b) barcha k"o'z ichiga olmaydigan guruhlar"men"; bu mumkin bo'lgan barcha narsalarni sanab beradi k-birlashmalari n elementlar. Shuningdek, bu hissalarni kuzatib borishdan kelib chiqadi X^k yilda (1 + X)ⁿ⁻¹(1 + X). Nol bo'lgani kabi Xⁿ⁺¹ yoki X⁻¹ yilda (1 + X)ⁿ, ta'rifni qo'shish uchun yuqoridagi chegaralardan tashqariga chiqarishi mumkin ( ) = 0 bo'lganda ham k > n yoki k <0. Keyinchalik bu rekursiv formulaning tuzilishiga imkon beradi Paskal uchburchagi, nollar yoki ahamiyatsiz koeffitsientlar bo'ladigan oq bo'shliqlar bilan o'ralgan.

Umumlashtirish va binomial qatorga ulanish
Multiplikatsion formula binomial koeffitsientlarning ta'rifini kengaytirishga imkon beradi^[3] almashtirish bilan n o'zboshimchalik bilan raqam bilan a (salbiy, haqiqiy, murakkab) yoki hatto har qanday element komutativ uzuk unda barcha musbat tamsayılar teskari bo'ladi:

Ushbu ta'rif bilan binomial formulaning umumlashtirilishi mavjud (o'zgaruvchilardan biri 1 ga o'rnatilgan bo'lsa), bu hali ham binomial koeffitsientlar:
Ushbu formula barcha murakkab sonlar uchun amal qiladi a va X bilan |X| <1. Shuningdek, uni identifikator sifatida talqin qilish mumkin rasmiy quvvat seriyalari yilda X, bu erda u haqiqatan ham doimiy koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan quvvat seriyasining ixtiyoriy kuchlarini ta'riflashi mumkin; Gap shundaki, ushbu ta'rif bilan biz kutgan barcha identifikatorlar mavjud eksponentatsiya, ayniqsa.Agar a manfiy bo'lmagan butun son n, keyin barcha shartlar k > n nolga teng, va cheksiz qator cheklangan yig'indiga aylanadi va shu bilan binomial formulani tiklaydi. Biroq, ning boshqa qiymatlari uchun amanfiy tamsayılar va ratsional sonlarni o'z ichiga olgan qator haqiqatan ham cheksizdir.