Aniq integral va uning xossalari

Aim.uz

Aniq integral va uning xossalari.
kesmada f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin. kesmani nuqtalar bilan n ta bo’lakka ajratamiz. Har bir kesmadan ixtiyoriy nuqta olib

yig’indini tuzamiz. Bunda

ko’rinishidagi yig’indi integral yig’indi deyiladi. Uning max dagi limiti mavjud va chekli bo’lsa, unga f(x) funksiyaning a dan b gacha aniq integrali deyiladi va u

ko’rinishida yoziladi.

Bu holda f(x) funksiya kesmada integrallanuvchi deyiladi. f(x) funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun u kesmada uzluksiz bo’lishi yoki chekli sondagi uzilishlarga ega bo’lishi kifoyadir.

Aniq integral quyidagi bir qator xossalarga ega:

1. ;

. , agar bo’lsa;

;

.

Agar kesmada va integrallanuvchi bo’lsa, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi;

6. Agar kesmada va funksiyalar integrallanuvchi hamda bo’lsa, u holda ularning aniq integrallari uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Agar va f(x) funksiya , kesmalarda integrallanuvchi bo’lsa, unda kesmada ham integrallanuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi.

Agar kesmada (a
Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:

10. Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada shunday 𝜉 nuqta mavjud bo’ladiki, unda

tenglik o’rinli bo’ladi.

Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik aniq integralni hisoblashning Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.

Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasi deb ataluvchi

formuladan foydalaniladi.

Berilgan uzluksiz funkisiyadan kesma bo’yicha olingan

aniq integiralni ba’zi hollarda biror differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o’zgaruvchidan “yangi” t o’zgaruchiga o’tish usulida foydalanib hisoblash mumkin bo’ladi. Bunda quyidagi shartlar qo’yiladi:

1. (

2. (t) va funksiyalar t [ ] kesmada uzluksiz:

3. [ murakkab funksiya [ kesmada aniqlangan va uzluksiz.

Bu shartlarda ushbu formula o’rinli bo’ladi:

Bu formula aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. integral hisoblansin:

Yechish:

integral hisoblansin.

Yechish:

3. ni hisoblang.

Yechish:

4. integral hisoblansin:

Yechish: Endi yangi chegaralarni aniqlaymiz: da dan da dan kelib chiqadi.

Topilganlarni berilgan integralga qo’yamiz:

.

integral hisoblansin:

: almashtirish qilamiz: U holda bo’ladi. Bundan tashqari yangi o’zgaruvchi ning qiymatlarini aniqlaymiz. da va da Ularni e’tiborga olsak,

6. integral hisoblansin.

Yechish: almashtirish qilamiz. U holda

bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. Demak,

7. integral hisoblansin.

Yechish: Bu integralni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib integrallaymiz.

8. integral hisoblansin.

Yechish:
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar

1. Quyidagi integrallar hisoblansin.

1) ;

5)

Javob:

2. Quyidagi integrallarni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib hisoblang.

Javob:

3. Quyidagi integrallarni o’zgaruvchini almashtirish formulasidan foydalanib hisoblang.

Javob: 1)

Aim.uz