Amaliy mashg’ulot №9

Amaliy mashg’ulot №9.

Avtomatik tizim turgunligini aniqlash

Bu mezonlardan foydalangan holda xarakteristik tenglamaning yechimini topmay va grafiklar qurmay turib, faqatgina tenglama koeffisiyentlari ustida algebraik hisob-kitob ishlarini olib borib, sistemani tung‘unlikka tekshirish mumkin.

Ingliz matematigi Raus 1875 (1877) yilda sistema turg‘unligini tekshirishning quyidagi mezonini yaratdi.

Tekshirilayotgan sistemaning xarakteristik tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lsin:

(1)

Raus quyidagicha jadval tuzishni taklif etadi.

Koeffisiyentlar jadvali

№ qatorlar	№ ustunlar
	1	2	3	4
1
2
3
4
5	…	…	…	…

Jadval tuzish usuli quyidagicha:

Birinchi qator dan boshlanib xarakteristik tenglamaning juft indeksli koeffisiyentlaridan tuziladi.

Ikkinchi qator toq indeksli koeffisiyentlaridan tuziladi.

Uchinchi qator birinchi ikki qator mos koeffisiyentlarni qarama qarshi ko‘paytirib, ko‘paytmani oldingi qatorning birinchi ustini elementiga bo‘linadi.

Yuqorida keltirilgan jadval to‘ldirilgandan so‘ng Raus mezoni quyidagicha ifodalanadi. ARS turg‘un bo‘lishi uchun sistema xarakteristik tenglamasi koeffisiyentlaridan tuzilgan jadval birinchi ustunining barcha elementlari bo‘lgan shartda noldan farqli va musbat bo‘lishi lozim va yetarli. Bu mezondan foydalanish xarakteristik tenglama koeffisiyentlari miqdoriy berilganda juda qulay.

Shveysariya olimi Gurvis 1895 yilda Gurvis mezoni nomini olgan turg‘unlikning algebraik mezonini taklif etadi. Bu mezon xarakteristik tenglamaning Gurviq aniqlovchisi yoki matrisasi deb ataluvchi maxsus aniqlovchilarini tuzishga asoslangan.

Bunda quyidagi qoidalarga asosan koeffisiyent a₀ > 0 bo‘lishi kerak:

1) asosiy diagonal bo‘yicha o‘sish tartibida a₁ dan a_n gacha barcha koordinatalar ko‘chirib yoziladi;

2) aniqlovchining barcha ustunlari diagonaldan yuqoriga indekslari o‘sayotgan koeffisiyentlar, diagonal elementlaridan pastga esa indekslari kamayuvchi koeffisiyentlar bilan to‘ldiriladi;

3) eng katta tartibli Gurvis aniqlovchisi sistemaning xarakteristik tenglamasi darajasiga to‘g‘ri keladi;

4) n dan katta indeksli koeffisiyentlar nolga teng;

5) indekslari noldan kichik bo‘lgan koeffisiyentlar nolga tenglashtiriladi;

6) oxirgi _n aniqlovchi a_n_n-1 ga teng. Shunga muvofiq Gurvis aniqlovchilari quyidagicha bo‘ladi:

va hokazo.

Gurvis aniqlovchisining umumiy ko‘rinishi esa:

Gurvis mezoni asosida eng sodda sistemalar turg‘unligining quyidagi shartlari kelib chiqadi: 1) agar birinchi va ikkinchi tartibli sistemalarda xarakteristik tenglamaning barcha koeffisiyentlari musbat bo‘lsa, bu sistemalar turg‘un bo‘ladi; 2) agar uchinchi tartibli sistemada xarakteristik tenglamaning barcha koeffisiyentlari musbat bo‘lib, a₁a₂ >a₀a₃ bo‘lsa, sistema turg‘un bo‘ladi; 3) agar xarakteristik tenglamaning barcha koeffisiyentlari musbat bo‘lib, a₁a₂a₃ >a₀a₃²a₄a₁² bo‘lsa, to‘rtinchi tartibli sistema turg‘un hisoblanadi.

Gurvis mezonidan foydalanilganda ₁ dan _n gacha barcha aniqlovchilarni hisoblashning keragi yo‘q. Masalan, uchinchi tartib­li sistemaning turg‘unligini aniqlash kerak bo‘lsa, uchta aniqlovchidan birini topishning o‘zi kifoya. a₄ va a₅ koeffisiyentlar ₃ aniqlovchida nolga teng:

.

Agar ₂ aniqlovchi musbat bo‘lsa, ₃ aniqlovchi ham musbat bo‘ladi. ₃=a₃₂ > 0, chunki a₃ > 0. ₁ aniqlovchi esa ma’lum (₁= a₁) va musbat (chunki a₁>0). Algebraik mezon beshinchi tartibdan oshmaydi va u kechikishsiz chiziqli sistemalar uchun ancha qulay.

Yopiq sistemaning xaqiqiy koeffisiyentli n-darajali xarakteristik tenglamasini ko‘rib chiqamiz.

(1)

Bu yerda , ,…, -xarakteristik tenglama ildizlari.

Ildizlarning kompleks tekisligida har bir ildizga ma’lum bir nuqta, agar ildizlar bog‘langan bo‘lsa ikki nuqta mos keladi (25-rasm).

1.