4-tajriba ishi. Mavzu: Erkli sinashlar ketma-ketligi. Bernulli, Laplasning

4-tajriba ishi. Mavzu: Erkli sinashlar ketma-ketligi. Bernulli, Laplasning lokal va integral formulasidan foydalanib hodisalarning ro‘y berish ehtimolini topish.

Agar bir nechta sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish extimoli boshqa sinash natijalariga bog‘liq bo‘lmasa, u xolda bunday sinashlar A hodisaga nisbatan erkli deyiladi.
Har xil erkli sinovlarda A hodisa yo har xil extimolga, yoqi bir xil extimolga ega bo‘lishi mumkin. Biz bundan keyin A hodisa bir xil extimolga ega bo‘lgan erkli sinashlarni tekshiramiz. Shuni aytib o‘tish mumkinki, bunda A hodisaning k marta aniq bir ketma –ketlikda ro‘y berishi talab qilinmaydi. Masalan, agar A hodisaning to‘rtta sinashdan uch martasida ro‘y berishi to‘g‘risida gap ketsa, u xolda quyidagi murakkab hodisalar bo‘lishi mumkin:

AAA A,

AAAA,
AAAA, va

AAAA

AAA A
yozuv birinchi, ikkinchi, va uchinchi sinashda A hodisa ro‘y berib, to‘rtinchisida esa u ro‘y

bermaganligini bildiradi: qolgan yozuvlar ham tegishli ma’noni bildiradi.

Faraz qilaylik, n ta o‘zaro erkli sinash o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida A hodisa yo ro‘y berishi yo ro‘y bermasligi mumkin bo‘lsin. A hodisaning extimoli har bir sinashda bir xil, chunonchi ^p ga teng deb xisoblaymiz, ro‘y bermaslik extimoli esa q 1 p ga teng. Sinovlarning bunday eng

sodda ketma–ketligi Bernulli sxemasi deyiladi.

Masalan, o‘yin soqqasini tashlashdan iborat tajriba o‘tkazilmoqda. Har bir tashlashda u yoqi bu sonda ochkolar chiqish extimolligi boshqa tashlashlarda qanday ochko chiqqanligiga bog‘liqmasligi ravshan, binobarin biz bu yerda erkli sinovlar ketma – ketligiga egamiz. ⁿ ta sinashda A hodisaningn rosa k

marta ro‘y berishi va demak n  k marta ro‘y bermaslik extimolini xisoblashni ko‘rib chiqaylik.

Izlanayotgan extimolni

P_n k  orqali belgilaymiz. Masalan
P₅ 3 belgi beshta sinashda hodisa rosa 3

marta ro‘y berishi, demak 2 marta ro‘y bermaslik extimolini bildiradi. Qo‘yilgan masalani Bernulli formulasi deb ataluvchi formula xal etadi.
Bernulli formulasini keltirib chiqarish. ⁿ ta sinashda A hodisaning rosa k marta ro‘y berishi va

n  k
marta ro‘y bermasligidan iborat bo‘lgan bitta murakkab hodisaning extimoli erkli hodisalar

extimoli ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra
_pk _qn  k
ga teng. Bunday murakkab hodisalar n ta

C

n
elementdan k tadan nechta gruppalash tuzish mumkin bo‘lsa, shuncha, ya’ni ^k ta bo‘ladi. Bu
murakkab hodisalar birgalikda bo‘lmaganligi uchun birgalikda bo‘lmagan hodisalar ehtimollarini qo‘shish teoremasiga asosan, izlanayotgan extimol barcha mumkin bo‘lgan murakkab hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga teng. Bu murakkab hodisalarning extimollari bir xil bo‘lgani uchun izlanayotgan extimol (n ta sinashda A hodisaning k marta ro‘y berish extimoli) bitta murakkab hodisaning extimolini ularning soniga ko‘paytirilganiga teng.
P k   C^k p^k q^nk
n n

yoqi

n

k!
P k  
_ ^n! _{ p}k _qnk

n  k !
Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deyiladi.

1- misol. Har bir detalning yaroqli bo‘lish extimoli detaldan rosa 2 tasining yaroqli bo‘lish extimolini toping.

p  0.8 ^{bo‘lsa, tavakkaliga olingan 5 ta}