3. Проектив нуктан назардан евклид гёометрияси. Теорема

3. Проектив нуктан назардан евклид гёометрияси.
Теорема. Евклид текислигидагн аффин алмаштиришлар ўхшаш алмаштириш бўлиши учун нхтиёрий бир жуфт перпендикуляр тўғри чизиқларни яна перпендикуляр бир жуфт тўғри чизиқларга ўтказиш зарур ва етарлидир.
Исбот. Зарурий шартнинг ўринли бўлиши равшан, етарли шартни исботлайлик.
Маълумки, аффин алмаштириш


ихтиёрий ( :) векторни ( ) векторга алмаштиради:


Иккита перпендикуляр (1,0), 2, (0, 1) вектор (а; а), т, (6; 6,)
векторларга алмаштирилади. Бу векторлар ҳам перпендикуляр бўлсин, яъни:
т, т, = ав {+ ав, =0.

Эндии бошка икки перпендикуляр т, (1, |) ва ты (1, — 1) векторларни

олайлик, уларнннг образлари 27, (а -- Ь, а, --6,) ва т, (а —6В, а — В)
координаталарга эга бўлади. Уларнинг скаляр кўпайтмаси:

тв па = (а +) а-— а +6) (ав) =0,

Шундай қилиб, тенгламалар системасинн ҳосил киламиз:

ав а, 6, =0,

ана = Ы.

аш =б-+Ы = 1 а= 05 ф, а, = В 51 Ф, 6 = 5 ф, 6, = #03 Ф.

Булардан фойдаланиб, ушбуга эга буламиз:
вп (ф Еф) = 0,
ф = — ф-+- лп(п =0;1).
Энди 6, 6, коэффициентларни ф оркали ифодалашимиз мумкин, яъни;
а) п=0; 6 = — Азтф, В, = 505 ф,
6) п=1; 6 = Аз ф, В, = — 1508$,
ёки
р == — ЕКУПФ, В, = 62 С05Ф,
бу ерда е= 1.
Бу коэффициентларнинг топилган қийматларини алмаштириш формуласига қуйиб топамиз:
Х' ий (хс0$ф — вуз) с,
у’ = (х5тф -- =1с03 $) -Е с,

Бизга а„— тўғри чизиқ ва бу

тўғри чизиқда ётмайдиган О нукта
берилган бўлсин. Тўғри чизиқнинг хар
бир А нуктасини А’ нуктасига ўт-
казувчи ва АОД’ тўғри бурчакни
ўзгартирмайдиган {74-чизма) { алмашти-
ришни олайлик. Бу алмаштириш О нуктани танлаб олишга боғлиқ
эмаслиги равшан, ОА, =а, ОА, ==ваи ((=1, 2, 3, 4) билан белгилайлик.
а, 42, аз, @4 тугри чизиклар а,, а», а,, аз тўғри чизикларнинг ҳар бирини О нуқта атрофида бурчакка буриш натижасида ҳосил килинган.
Буришда мураккаб нисбат ўƒзгармайди, яъни (а, аз а, а4) = (а; а азач),
бундан эса (А, А, А, А.) = (А, Аз Аз Аз). Демак ƒ проектив алмашти-
ришдир. Бу алмаштириш таърифига кўра инволюция бўлиб, қўзғалмас
нуқтага эга эмас, демак, эллиптик инволюциядир. Бундай инволюция
абсолют инволюция дейилади.
Энди кенгайтирилган евклид текислигида а_ тўғри чизиқни ўз-ўзига
ўтказиш билан бирга ундаги абсолют ннволюцияни ўзгартирмайдиган проектив алмаштиришни қарайлик.
Юкоридаги теоремаларни ва аффин группасини эътиборга олсак,
қуйидаги натижага келамиз.
Коллинеациялар группасн таъсир қилган кенгайтирилган евклид те-
кислигида, абсолют сифатида, абсолют инволюция мавжуд бўлган а,,

хосмас тўғри чизиқни олсак, у ҳолда коллинеациянинг қисм группаси

Р, \, а, = П евклид текислигидаги ўхшаш алмаштиришлар группаси
бўлади.
Энди проектив текисликда евклид геометриясини кўришимиз мум-
кин. Бунинг учун проектив Р, текисликда абсолютни танлаш лозим.
Абсолют сифатида хосмас тўғри чизиқ ва ундаги абсолют инволюция-
ни оламиз.
Юкорида олинган натижаларга асосан евклид тушунчаларига қуйи-
дагича таърифлар бериш мумкин:
1. Р.^\ а, — евклид текислиги, бу текислик аффин текислиги билан
бир хилдир.
2. Тўғри чизик, . тўғри чизикнинг параллеллиги, «орасида» муноса-
бати, кесма, учта нуқтанинг оддий нисбати ва шунга ўхшаш аффин
тушунчалардаги каби таърифланади.
3. Ўхшаш алмаштиришлар группаси Ру\\а„ текисликдаги абсолютни
сақловчи проектив алмаштиришлар группасининг қисм группасидир.
4. |, т — проектив .тўғри чизиқлар. Агар бу тўғри чизиклар абсолютни С», /М, нукталарда кесса ва бир- бирига абсолют инволюцияда мос бўлса, у ҳолда Л, тх М, евклид тўғри чизиқлари перпендикуляр бўлади.
5, Маркази Р, нуқтада, ўқи $ эса Р‚ нуқтага абсолют инволюцияда мос келган $„, нуктадан Утувчи нинволюцион гомологияни олайлик. |
Бу алмаштириш текисликнинг А нуктасини А” нуктасига Утказади (75% —
чизма). Агар (Р_ХАА") = —1 булса, Х нукта АД’ кесманинг Урта —
нуктаси булади, унлан ташкари (АА’)\ Р’ ваз\5$, тугри чизиклар х
перпендикуляр. Демак, биз караётган алмаштириш $ Укка нисбатан —
симметрик алмаштириш бУлади. ,

6. йе координаталари системасини курайлик. А, „А. „ ва 9, 1

0» нукталар абсолют инволюцияда бир-бирига мос келувчи ва бир-
бирини гармоник ажратувчи икки жуфт нукта буленн. (Е, ©)“ 9. т9е-_
рн чизикда @тувчи А, ва Е хос нукталарни олайлик. У холда А =
= [А, А, А, Е| проектив координаталар системаси бир жинсли аффин
К = [4,.А„„А,Е] координаталар системасига айланади. Бу систе-
манинг 4, 4,„ ва А,А,„ координат Уклари перпендикуляр. Бундан
ташкарн

Б = А.А „ПЕЛА, „Е, =А А, ПЕА

лса, у холда бирлик А, Е, ва А, Е, кесмаларнинг узунликлари
6- чизма).
Хакикатан хам, тулик учликнинг гармоник хоссаларига к
Е Е, тугри чизик А„ А, „ О, нукталарга гармоник булган ©’ нук
тадан Утади. | |
Шунинг учун ©” марказли ва А, О. Укли инволюцион гомология |
А, Е; ва А, Е, кесмаларни бир- бирига Утказади, бундан кесма узуне | ]
ликларининг тенглиги келиб т 2%
Шундай килиб, А = |А, А, А, Е} координаталар системаси — абсо-
люти билан берилган проектив текисликдаги тФРри бурчакли бир жыне-
ли декарт системасидан иборат бфлади. Р, \ а, текисликдаги бир жино —
ли булмаган тугри бурчакли декарт системаси одатдагидек к и
Нуктанинг бир жиисли бУлмаган координаталари сифатида бир жуфТ|
(х, У) сонлар олинади. Бу сонлар шу нуктанинг бир жинели (ху, Хи, Ха) = .
координаталари билан -

муносабат оркали богланган,

м а

Х= ЛЬ, у = 2%

я, ж